Основы теории расчета алюминиевых стержней в области малых упругопластических деформаций

01.06.2020

В связи с особенностями физико-механических свойств упрочненного алюминия представляется необходимым развитие теории расчета тонкостенных стержней таким образом, чтобы можно было проанализировать работу алюминия, работающего в области малых упругопластических деформаций.

Учет физической нелинейности алюминиевых тонкостенных стержней имел место в научных работах С.М. Мулина, Г.Г. Баловнева, Н.Г. Грабинского, Э.К. Кебеля, Н.В. Никольской и других ученых в основном при решении отдельных задач устойчивости при продольном изгибе и изгибе с кручением для профилей ортогонального сечения (уголков, швеллеров, двутавров и т. п.). Попытки дать общие решения теории упругопластичных тонкостенных стержней в работах С.М. Мулина не привели к получению достаточно достоверных и доступных для инженерной практики способов определения напряженного состояния и деформативности элементов конструкций.

Ниже приводятся теоретические преобразования, в результате которых получены общие уравнения теории тонкостенных стержней, работающих в области малых упругопластических деформаций. Даны формулы статических и секториальных характеристик сечений и приемы их подсчетов для использования при проектировании алюминиевых конструкций.
Основы теории расчета алюминиевых стержней в области малых упругопластических деформаций

Рассмотрим общий случай напряженного состояния части стержня (рис. 76), который находится под действием произвольно взятых продольных и поперечных сил, вызывающих соответствующие напряжения. Примем следующие исходные положения:

1. Так же как при плоском изгибе, в соответствии с расчетной диаграммой на рис. 12,а принимаем разные пределы текучести при растяжении отр и при сжатии отсж, вводим пределы пропорциональности соответственно опцр и опцсж, кроме модуля упругости E учитываем модуль пластичности Е'', значение которого принимаем приближенно постоянным в интервале между опц и от. Зависимость между напряжениями о и относительными деформациями е принимаем по (1) и (2).

2. Рассматриваем простое нагружение стержня произвольной нагрузкой. При этом напряжения не должны превышать расчетные сопротивления Rр.сж, принятые по условным пределам текучести отр.сж.

3. В пределах малых пластических деформаций сохраняются положения тонкостенных стержней, разработанные В. 3. Власовым для случая упругого материала, а именно: 1) контур сечения профиля не деформируется в своей плоскости, но подчиняется закону депланации; 2) деформации сдвига в срединной поверхности принимаются равными нулю; 3) соседние волокна не давят друг на друга; 4) стержень деформируется по синусоидальному закону. Произвольные координатные оси хОх, yOy, zOz и главные х000х0, уо0оуо и z000z0 направлены, как показано на рис. 76.

Определение о, т и Нк. В зависимости от деформаций ищем значение величин, характеризующих напряженное состояние тонкостенного стержня: продольные нормальные напряжения а и касательные к контуру сечения т (рис. 76) как функции переменных z и s. Формулу для определения крутящего момента Hк, возникающего из-за неравномерности касательных напряжений по толщине стенки и приложенному ко всему сечению, приближенно принимаем такой же, как в случае упругого сечения Hк = GJdпр0'.

Согласно будем иметь относительное продольное удлинение

Напомним, что в правой части уравнения (22) каждый из членов является составляющим продольных деформаций: e(z) — при продольном равномерном действии сил; е"(z)x(s) и n'' (z)y(s) — при поперечном изгибе в плоскостях х000х0 и y000y0, 0''(z)aw(s) — при стесненном кручении.

Для волокон, в которых напряжения достигли предела пропорциональности опц, из уравнения (22) получаем выражение для относительных деформаций епц:

Подставляем (22) и (23) в (1) и (2), заменяем Е"/Е на n и получаем формулы для нормальных напряжении:

- для полного упругого сечения согласно

- для сечений, в которых имеются зоны, где напряжения выше предела пропорциональности

Формулу для касательных напряжений получаем из условия статического равновесия бесконечно малого элемента стержня, испытывающего нормальные и касательные напряжения, так же как в случае упругих тонкостенных стержней. В связи с принятым ранее условием о том, что деформации сдвига срединной поверхности из-за малой величины приняты равными нулю, касательные напряжения определяются через нормальные напряжения из условия статического равновесия. Поэтому исходным выражением для получения формулы касательных напряжений упругопластичных стержней будет то, которое получено для упругих стержней:

В последнем интеграле уравнения заменяем tds через dF, подставляем в него значение о из (25) и (24). Берем этот интеграл отдельно по упругой и пластической зонам, для простоты опускаем при написании (z) и (s). Получаем для упругого сечения известное

для сечения, в котором имеются упругие и пластические зоны. Исходя из формул (26), (24) и (25):

Сопоставляя одночлены в (26) при коэффициентах e'', e''', n''' и 0''' с многочленами в (27) при этих же коэффициентах, замечаем, что многочлены по смыслу соответствуют площади, статическим и секториальным моментам сечения. Назовем их приведенными и, заменив на соответствующие обозначения, переписываем (27):

В уравнении (28) будут следующие приведенные характеристики сечения с упругой и пластическими зонами:

Напряженное состояние профиля при действии произвольной нагрузки. Выразив нормальные и касательные напряжения через деформации, рассмотрим известные условия равновесия элемента тонкостенного стержня — поперечной полоски-оболочки в произвольной системе координат (рис. 77):

После сокращения на dz и замены ряда членов на более простые: dx, dy, и и т. п. — подставляем в уравнения системы (30) полученные выше формулы (25) и (27) для опл и тпл. Берем производные по соответствующим переменным, преобразуем и получаем систему уравнений, которой описывается в произвольной системе координат напряженное состояние тонкостенного стержня при появлении в нем пластических деформаций при напряжениях выше предела пропорциональности.

Подробно, в развернутом виде, эти уравнения приведены в работе. Здесь же рассмотрим сокращенное написание системы с заменой соответствующих выражений на значения приведенных характеристик, как это было сделано в уравнениях (27) и (28):

Приведенные статические моменты при е''':

приведенный секториальныи статический момент при е'''

приведенные моменты инерции:

приведенные центробежные моменты инерции:

приведенный секториальный момент инерции

приведенные секториально-линейные статические моменты:

Таким образом, еще раз отметим, что система уравнений (31) представляет собой решение в общем виде задачи напряженного состояния тонкостенного стержня в произвольно взятых координатах, который находится под воздействием произвольно приложенной нагрузки. Формулы к системе уравнений (31) — это геометрические, статические и секториальные характеристики сечения профиля, которые характеризуют состояние и способность сопротивления материала при его упругопластической работе.

Однако для практического использования система уравнений (31) очень громоздка. В работе выполнен ряд преобразований, позволивших получить уравнения и формулы, которые можно использовать для практических расчетов. Преобразования эти основаны на следующих положениях, принятых как для упругих, так и для упругопластичных стержней:

1. Интегралы из попарных произведений основных функций 1, x(s), y(s) и w(s), взятые по площади поперечного сечения, должны быть равны нулю, т. е. эти функции должны быть ортогональны между собой.

2. Функции, удовлетворяющие условиям ортогональности, будут главными обобщенными координатами поперечного сечения тонкостенного стержня, т. е. «взаимная работа внутренних (внешних) сил двух каких-либо состояний деформаций стержня, определяемых перемещениями e(z), e(z), n(z) и 0(z), при отнесении поперечного сечения к главным обобщенным координатам 1, x(s), y(s) и w(s) должна быть равна нулю».

На основании п. 1 и 2 система уравнений (31) упрощается и распадается на четыре отдельных уравнения:

Если на стержень действуют только поперечные нагрузки qx(z), qy(z) и момент m(z), а продольные силы и, следовательно, все их составляющие равны нулю и продольные края не подвержены действию сдвигающих сил T'L и T""K, то уравнения (32) еще больше упрощаются:

Таким образом, уравнениями (32) и (33) установлено, что напряженное состояние тонкостенного стержня за пределами упругости с учетом анизотропности свойств металла и принятых в начале параграфа исходных положений определяется такими же по структуре уравнениями, как и в случае упругих стержней.

Однако, сравнивая формулы геометрических, статических и секториальных характеристик с такими же характеристиками полного упругого сечения рассматриваемого профиля, отмечаем, что и по структуре, и по величине они различны. Отсюда следует вывод, основанный на применении рассмотренных выше физических и математических зависимостей, характеризующих не только конечное состояние профиля при рассматриваемой нагрузке, но и учитывающих процесс упругой и пластической работы материала. Этот вывод заключается в том, что при работе металлического профиля за пределами упругости меняются его статические и секториальные характеристики, причем они зависят не только от отношения модулей Eпл/Еупр = n — величины, которую, как правило, используют при расчете упругопластических стержней.

Путем введения зависимости (2) в общие уравнения статики получены приведенные выше формулы статических и секториальных характеристик, которыми определяется способность профиля сопротивляться данной нагрузке с учетом упрочнения металла пластических зон в процессе нагружения. Подтверждением правомерности этих формул является и то, что точно такие же формулы для статического момента и момента инерции получены другим путем при плоском изгибе, о чем изложено ранее.

Определение положения основных точек сечения (полюса А) и начала отсчета секториальных координат (точки М). Для практической реализации теоретических выводов в первую очередь необходимо дать методику определения основных геометрических характеристик — обобщенных координат упругопластического сечения тонкостенного стержня. Следует отметить, что все характеристики упругопластического сечения профиля представляют собой функции нагрузок и усилий, вызванных нагрузками, и изменяются с изменением этих усилий. Поэтому понятие «характеристика сечений» и понятие «главные обобщенные координаты» 1, х, у, со, которые приняты в теории упругих тонкостенных стержней при упругопластической работе металла, должны быть уточнены, и следует говорить о «характеристиках и обобщенных координатах при данном нагружении».

Таким образом, координатные оси хох, yoy, zoz, положение которых определяется принятыми условиями ортогональности, а также из ранее рассмотренного случая упругопластичного изгиба, не являются главными центральными осями упругого сечения. Положение этих осей изменяется с изменением напряженного состояния профиля. Если принятые в начале расчета произвольные оси координат х0о0х0 и у0о0у0 считать главными, проходящими через центр тяжести упругого сечения, то смещения а1 и а2 (рис. 76 и 78) начала отсчета обобщенных координат упругопластичного сечения можно определить так, как это было сделано при поперечном изгибе.

В теории тонкостенных стержней особое значение имеют точки: главный полюс А и начало отсчета секториальных координат М. Полюс А для стержней постоянного сечения совпадает с центром изгиба. Напомним, если через точки, проходящие через линию, параллельную образующей стержня, приложить поперечную нагрузку, и при этом стержень будет испытывать центральный поперечный изгиб, это значит, что силы проходят через линию центров изгиба. Если силы приложены в других точках, то стержень будет находиться в сложном напряженном состоянии и испытывать не только изгиб, по и кручение. Координаты центра изгиба сечения (рис. 78) определяются формулами. После того как будут определены главные обобщенные координаты и положение центра изгиба для упругопластичного сечения при рассматриваемом нагружении, положение точки M можно определить по координате эпюры секториальных площадей, построенной из любой произвольно взятой точки: wпл = Sпр/F.

Для окончательного определения напряженного состояния тонкостенного стержня от элементарных сдвигающих и нормальных сил, от перемещений и деформаций необходимо перейти к обобщенным продольным и поперечным силам, относящимся ко всему сечению.

Так же как для упругих стержней, в рассматриваемом случае используем принцип возможной (виртуальной) работы, т. е. считаем, что работа всех элементарных сил на возможном продольном перемещении равна единице. Тогда в соответствии с выводами, имеем общие выражения для нормальных и касательных напряжений в зависимости от усилий, действующих на тонкостенный стержень, в котором появились малые упругопластические деформации: для определения нормальных напряжений

Особо следует рассмотреть две величины, характерные для работы тонкостенных стержней, бимомент В и изгибно-крутящий момент Hw. Бимомент В, как и в теории упругих стержней, является обобщенной уравновешенной силой, т. е. статически равной нулю, но вызывающей депланацию, определяемую соответствующими координатами секториальных площадей w. Изгибно-крутящий момент Hw получается от осевых сдвигающих сил тt, действующих по касательной дуге контура сечения относительно главного полюса. Величины В и Hw определяются так же, как и для упругих стержней. Только в формулы подставляются приведенные характеристики, подсчитанные для упругопластичного сечения. Коэффициент а вычисляется из следующего отношения:

Следует заметить, что формулы (34)—(36) применимы для определения напряжений как в пластических зонах, так и в области упругих деформаций. В последнем случае, когда необходимо определить напряжения в точке с координатами xi, уi, wi и при этом xi

Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна