Способы вычисления геометрических, статических и секториальных характеристик профилей как тонкостенных стержней

Ранее были рассмотрены основные теоретические положения расчета тонкостенных стержней, работающих в области малых упругопластических деформаций, и получены формулы геометрических, статических и секториальных характеристик сечений. При этом задача напряженного состояния упругопластичного тонкостенного стержня решалась для произвольно взятых нагрузок и получены общие формулы геометрических, статических и секториальных характеристик. На основании этих общих формул составлены таблицы, с помощью которых можно вести подсчет характеристик для практических расчетов (табл. 47—51). Наибольший эффект будет получен, если эти таблицы будут использованы как алгоритм для составления программы и расчета на ЭВМ.

Однако в строительной практике трудно найти объект, где была бы такая произвольная комбинация нагрузок, какая принята при теоретическом решении задачи. Кроме того, целью проектировщика является проектирование такой конструкции, в которой бы обеспечивалась передача усилий в таком направлении, в котором проявилась бы лучше всего работа запроектированного профиля — его прочность, устойчивость, жесткость. В идеальном случае этого можно достичь, если усилия (реакции) от нагрузок будут приложены без эксцентриситетов, в центре изгиба или по линии центров изгиба сечения. Эксцентричное приложение нагрузок вызывает сложное напряженное состояние элемента: поперечный изгиб с кручением, сжатие с изгибом, растяжение с изгибом, внецентренный изгиб с кручением и т. п.

В алюминиевом элементе можно достигнуть более благоприятных условий работы быстрее, чем, например, в стальных, где выбор формы сечений ограничен сортаментом ортогональных профилей. Однако и при проектировании алюминиевых стержней не всегда можно избежать эксцентричного приложения сил. Отсюда и вытекает необходимость проведения такого трудного расчета, как определение сложного напряженного состояния упругопластичных стержней из алюминия.

Несмотря на то, что данные табл. 47—51 охватывают все случаи нагружения, которые приняты при решении теоретической задачи, в практике рекомендуется составлять программы для ЭВМ, учитывая отдельные виды сложного нагружения: отдельная программа для плоского изгиба с кручением, отдельная программа для сжато-изогнутых стержней при плоском изгибе, для сжато-изогнутых стержней в двух плоскостях и т. д. Такой подход значительно упростит использование таблиц и обеспечит необходимую точность расчета. Это видно из решения сравнительно простого примера расчета балочной конструкции, работающей в пределах малых упругопластических деформаций при плоском изгибе. В примере дан способ подсчета приведенных статических моментов и моментов инерции моносимметричного сечения. Для того чтобы лучше понять, как следует определять геометрические, статические и секториаль-ные характеристики упругопластичных тонкостенных стержней при сложном напряженном состоянии, необходимо вначале подробно ознакомиться с этим на более простом примере. He следует забывать о том, что анализ каждого вида сложного нагружения в упругой области, а тем более за пределами пропорциональности, представляет самостоятельную проблемную задачу.

Подсчет характеристик сечений упругопластичного стержни и определение в нем напряжений имеет свои особенности:

1. Независимо от конфигурации сечения как для несимметричных профилей, так и для моносимметричных и бисимметричных определение всех характеристик следует вести с помощью несимметричного обобщенного профиля (рис. 80). Вспомним, что в упругопластичном сечении положение центральных осей зависит от величины и характера нагрузки. При внецентренном приложении нагрузок и стесненном кручении даже в симметричных сечениях почти всегда зоны пластических деформаций распределяются по площади несимметрично. При этом как бы нарушается равновесие упругих и пластических зон по сечению, происходит смещение и поворот центральных осей. Поэтому все участки пластических и упругих зон будут разные, и в расчете они должны учитываться каждый индивидуально.

2. Статические характеристики упругого сечения относительно центральных осей являются исходными, относительно которых производится уточнение характеристик упругопластичного сечения. В начале расчета следует задаться снижением величины приведенного момента инерции по отношению к моменту инерции упругого стержня. При краевых напряжениях, близких к расчетным сопротивлениям R, оно составит примерно 25—35%. Тогда Jхпр = 0,75— 0,65Jох.

3. Необходимо знать марку материала, из которого будет изготавливаться конструкция, и иметь следующие его характеристики: Rпцрсж; Rр.сж; E и Е''. Поскольку в СНиПе нет Rпц и Е'', необходимо иметь экспериментальную диаграмму а—е для данного материала при растяжении и сжатии, из которой можно определить эти величины.

4. Процесс расчета носит итерационный характер, при котором последовательно уточняются положение центральных осей упругопластичного сечения для рассматриваемого нагружения, границы упругих и пластических зон сечения и значения приведенных характеристик. В результате должна быть получена окончательная сходимость этих величин.

5. Все характеристики упругопластического сечения, как говорилось выше, зависят от величины и характера нагрузки на стержень. Поэтому в отличие от упругих стержней, для которых геометрические, статические и секториальные характеристики определяются независимо от нагрузки, в данном случае одновременно с характеристиками будут получены эпюры напряжений, возникающих в сечениях.

В общем случае напряжения от действия всех сил следует определять по формулам (34) для а и (35), (36) — для т.

Таким образом, процесс подсчета характеристик сечений упругопластичного тонкостенного стержня и определения в нем напряжений будут иметь следующие этапы:

1. Проектируемый профиль вычерчивается и разбивается на участки аналогично разбивке несимметричного обобщенного профиля на рис. 80. Каждый участок (прямоугольник, треугольник) обозначается цифрами в соответствии с подобными участками обобщенного профиля.

2. В первом приближении задается величина приведенного момента инерции в плоскости наибольшей жесткости сечения (например, Jxпр = 0,7Jох) определяется напряжение при плоском изгибе и находятся границы (точки) между упругими и пластическими зонами так, как это сделано в примере. По табл. 47 уточняются положение осей, значения приведенных моментов инерции и проверяется сходимость положения граничных точек.

3. Определяется напряжение, вызываемое эксцентричным приложением нагрузок. Для этого определяется величина действующего от нагрузки бимомента. В зависимости от характера нагрузки и опирания концов стержня бимомент можно вычислить по одной из формул, полученных в работах (см. табл. 7 приложения). Величина бимомента зависит от двух основных входящих в эти формулы величин: е — эксцентриситета приложения нагрузки, взятого относительно линии центров изгиба, и аизг — изгибно-крутильной характеристики.

Для упругопластичного стержня изгибно-крутильная характеристика

Для упругопластичного сечения принимается

4. После уточнения в первом приближении положений центральных осей и величины пластических зон (рис. 81) по табл. 48 вычисляются секториальные координаты (площади) w из вспомогательной точки A0. При этом следует обратить внимание на три возможных случая состояния участков (полок, стенок, ребер и т. п.) профиля:

а) участок полностью вошел в зону пластических деформаций. Для такого участка действительны все формулы табл. 47—51;

б) участок полностью упругий. В этом случае в формулах табл. 47—51 значение п принимается равным единице;

в) участок имеет упругие и пластические зоны. Такой участок делится на эти зоны, которые рассматриваются как самостоятельные участки. Например, участок 3—4 имеет упругую зону 3—4' и пластическую 4—4' (см. рис. 81). Нумерация границ (точек) для удобства принимается по номеру ближайшей точки профиля, но со штрихом (участки 11—11', 9—9', 9'—10' и т. п.). В расчете для упругих зон в формулы табл. 47—51 принимается значение n=1, а для пластических — n=Е"/Е.

5. По табл. 49 определяются координаты хA, уA центра изгиба А и координаты wМ главной секториальной точки М.

6. По табл. 50 вычисляются секториальные координаты wм из центра изгиба А.

7. По табл. 51 подсчитывается приведенный секториальный момент инерции упругопластичного сечения профиля. При этом все время следует придерживаться разбивки упругих и пластических зон, как рекомендовано в п. 4, и соответственно учитывать разное значение n.

Таким образом, в практических расчетах, кроме участков, данных в табл. 47—51, появляются промежуточные, количество которых зависит от характера работы того или другого участка сечения.

8. После определения секториальных характеристик подсчитывается бимомент и находятся суммарные напряжения. После суммирования напряжений уточняется положение граничных точек пластических и упругих зон участков, затем весь расчет с самого начала должен быть повторен. Повторение всего цикла расчета должно быть проделано столько раз, сколько потребуется для того, чтобы была достигнута сходимость всех геометрических, статических и секториальных величин упругопластичного стержня при рассматриваемом нагружении.