Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

06.07.2016

Элементы, работающие на растяжение и изгиб

Одновременная работа элементов на растяжение и изгиб может происходить как от внецентренно расположенных растягивающих сил, так и от совместного действия сил, центрально растягивающих, и сил, создающих поперечный изгиб. Возникающие при этом нормальные напряжения от обоих силовых воздействий суммируются и достигают максимальных значений в наиболее удаленных точках сечения. При работе материала в упругой стадии эти напряжения могут быть проверены по известной двучленной формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

По техническим условиям (ТУ) на проектирование дорожных мостов, мостов электрокранов, затворов и других сооружений расчетные сопротивления растяжению Rр и изгибу Rи приняты разными (например, Rр = 1900 кг/см2 и Rи = 2000 кг/см2). В этом случае к одному из слагаемых формулы (II—25) следует ввести поправку на соотношение величин расчетных сопротивлений:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

По техническим условиям на проектирование мостов при напряжениях от осевой силы σс≤σи — напряжений от изгиба разрешается сравнивать сумму напряжений, получаемых по формуле (II—25), с Rи, а при σc≥σи с Rp. При таком способе назначения величины R в формуле (II—25) происходит неоправданно резкий скачок при σс=σи, что является его недостатком. Способ, представленный формулой (II—26), свободен от этого недостатка.
По достижении крайними фибрами состояния текучести рост напряжений в них отстает от роста деформаций; происходит выравнивание напряжений на некоторой части сечения, и зона упругой работы сокращается. В момент разрушения в элементе из мягкой стали может образоваться шарнир пластичности с центром, смещенным от центра тяжести сечения в сторону сжимающих напряжений. Как и при простом изгибе, пластическая работа материала повышает значения разрушающих силовых факторов по сравнению с вычисленными по стадии упругой работы, то есть фактически увеличивает несущую способность элемента. В обычных расчетах это явление не учитывают.
Одновременная работа элемента на изгиб и растяжение уменьшает прогиб стержня и напряжения сжатия в наиболее удаленных частях сечения по сравнению со случаем простого поперечного изгиба. Тем самым создаются более благоприятные условия общей устойчивости элемента. Поэтому для элементов, работающих одновременно на. изгиб и. растяжение, проверка общей устойчивости не требуется. В тех случаях, когда в сложной работе элемента преобладает работа на изгиб и напряжения от осевого растяжения составляют незначительную долю краевых напряжений, получаемых от изгиба (например, менее ОД), целесообразно произвести проверку общей устойчивости хотя бы приближенно по формуле (II—18), то есть пренебрегая поддерживающим влиянием слабого растяжения (в запас прочности).
В случае работы элемента на косой изгиб и растяжение наибольшие суммарные напряжения могут быть проверены по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Проверку прочности силошностенчатых растянуто-изгибаемых элементов, не подверженных непосредственному воздействию динамических, нагрузок, по СНиП следует проводить с учетом пластической работы стали по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где N, Mx и My — абсолютные значения продольной силы и изгибающих моментов относительно осей к—х и у—у;
Wхнт пл и Wунт пл — пластические моменты сопротивления ослабленного поперечного сечения относительно осей х—х и у—у.
Элементы, работающие на сжатие и изгиб

Общие сведения. Элементы могут одновременно работать на сжатие и изгиб как от внецентренно расположенных сжимающих сил (внецентренное сжатие), так и от совместного действия центрально сжимающих сил и факторов, непосредственно создающих поперечный изгиб. Работа элементов в этом случае представляет сочетание явлений, происходящих при центральном сжатии и при поперечном изгибе. Принцип независимости от действия силовых факторов не применим к этой сложной работе, даже если весь материал находится в упругом состоянии. Под влиянием прогиба элемента образуется (или увеличивается) эксцентриситет сжимающих сил. Это увеличивает изгибающий момент на ΔМ = Nf. Возрастание момента, в свою очередь, увеличивает прогиб f и напряжения σ (рис. II—10):
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где ΣΔM = Nf — полное приращение момента.
Величину f — полное перемещение центра рассматриваемого сечения по направлению, нормальному к направлению силы N, можно определить в зависимости от fс — такого же перемещения, вызванного основным изгибающим моментом М, по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где Nэ — критическая сила, вызывающая потерю устойчивости рассматриваемого стержня при центральном сжатии;
k — коэффициент, зависящий от способа закрепления концов стержня и способа загружения его.
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

В зависимости от соотношения значений напряжений сжатия и изгиба характер работы стержня на сжатие с изгибом приближается в большей или меньшей мере к явлению центрального сжатия или к явлению поперечного изгиба. Центральное сжатие и поперечный изгиб являются двумя крайними состояниями процесса работы на сжатие с изгибом. Здесь следует отметить, что на практике явления чистого центрального сжатия и чистого изгиба встречаются крайне редко. В большинстве случаев так называемые центрально сжатые стержни имеют небольшие конструктивные или случайные эксцентриситеты, создающие в стержне изгиб с самого начала его работы. Нагрузки, приложенные к изгибаемым элементам, редко располагаются в плоскостях главных осей; обычно нагрузки проходят не через центр изгиба, что вызывает работу элементов на кручение.
При определенных условиях центрально сжатые элементы и изгибаемые элементы могут разрушиться от достижения ими предела прочности, а при других условиях — от потери устойчивости при сжатии или при изгибе. Поэтому при расчете элементов, работающих одновременно на сжатие с изгибом, следует проверить их прочность и устойчивость как в плоскости изгиба, так и из ее плоскости. Кроме того, при значительном преобладании влияния изгиба над влиянием сжатия, то есть при очень малом значении напряжений сжатия, например σс ≤ (0,1/0,15) σи, следует проверить величину прогиба.
Таким образом, для расчета элемента, работающего на сжатие с изгибом, в общем случае необходимо сделать четыре проверки:
1) прочности;
2) устойчивости в плоскости изгиба;
3) устойчивости из плоскости изгиба;
4) прогиба (только при большом относительном влиянии изгиба).
При второй и третьей проверках необходимо попутно убедиться в том, что гибкости рассматриваемого элемента не превышают предельные, установленные для центрально сжатых стержней.
Для расчета элементов, работающих на сжатие с изгибом, в плоскости действия момента разработано несколько методов. Наибольшим распространением пользуется метод устойчивости, в котором за предельное состояние принимают предельно-возможное состояние равновесия между внешним моментом (от внецентренно приложенной внешней силы) и моментом внутренних сил. Этот метод принят СНиП. В других методах за предельное состояние принимают достижение краевыми напряжениями предела прочности или достижение в крайних наиболее сжатых фибрах предельного укорочения. В конце прошлого столетия проф. Ф.С. Ясинский предложил в элементах, работающих на сжатие с изгибом, помимо проверки прочности, проверять устойчивость в плоскости действия момента по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где N — сжимающая сила;
F — площадь брутто поперечного сечения элемента;
φх — коэффициент снижения допускаемых напряжений в центрально сжатом элементе в зависимости от его гибкости в плоскости действия момента;
M — изгибающий момент;
Wx — момент сопротивления брутто поперечного сечения элемента в плоскости действия момента;
[σ] — допускаемое напряжение.
Формула II—32 может быть получена следующим путем (см. формулы II—30 и II—31):
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Величина Δe — увеличение эксцентриситета нормальной силы от действия момента — является функцией гибкости. Функцией гибкости является и коэффициент φx. Приняв условно φx = 1/1+Δe/ρ, получаем формулу II—32. Ошибка при такой замене незначительна.
Формула Ф. С. Ясинского не учитывает влияние формы поперечного сечения на несущую способность элемента, а влияние развития пластических деформаций в стержне учитывается лишь косвенно, поскольку это явление учтено при определении коэффициента продольного изгиба φ. Кроме того, в этой формуле реальные напряжения от изгиба складываются с фиктивными сжимающими. Однако формула Ф.С. Ясинского дает возможность определять такие соотношения между внешними силовыми факторами (М и N) и геометрическими характеристиками элемента (λ), при которых запас в сжато-изгибаемом элементе будет не ниже, чем у элементов центрально растянутых, центрально сжатых или только изгибаемых.
Эта теоретически сложная и практически важная задача решена Ф.С. Ясинским почти 70 лет назад с блестящей простотой и точностью. Дальнейшие многочисленные экспериментальные и теоретические исследования других авторов в этой области показали, что результаты, получаемые по формуле Ясинского, отличаются от результатов по другим более сложным методам весьма незначительно (обычно от 0 до 5% и в редких случаях до 8%).
Достоинство формулы Ясинского в том, что она ясно показывает влияние каждого из силовых факторов (M и N), и проектировщик видит рациональный путь изменения поперечного сечения элемента, если оно оказалось недостаточным или чрезмерно большим. Показатели же выгодности размещения материала в поперечном сечении сжатого элемента и изгибаемого различны (соответственно r2:F и W:F). В ряде случаев по этой формуле можно быстро и просто подобрать требуемое сечение элементов (например, решетчатых). При использовании понятия приведенной гибкости стержня формула Ясинского позволяет учесть влияние таких факторов, как способы закрепления концов стержня, способы загружения, изменение жесткости стержня по его длине. Через коэффициент φx эта формула позволяет учитывать влияние случайных эксцентриситетов, пластичности материалов и др. Формулу Ясинского применяют для проверки устойчивости сжато-изгибаемых элементов, переменной жесткости по длине (стрелы кранов, землеройных машин и т. п.). Одночленная формула СНиП применима лишь для проверки устойчивости внецентренно сжатых элементов постоянного сечения при Rc=Ru. В силу указанных обстоятельств ниже будут освещены оба метода расчета.
Проверка прочности. Проверку прочности проводят по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Эта формула дает несколько заниженные значения напряжений, так как. не учитывает возрастания изгибающего момента вследствие прогиба элемента (ΔM = Nf, рис. II—10). Ее неточность отчасти погашается неучтенными запасами за счет пластической работы стали.
При необходимости большей точности расчетов следует учитывать возрастание изгибающего момента вследствие прогиба стержня, заменив в числителе второго слагаемого M на величину M+Nf; величину f — прогиба стержня можно определить по формуле II—31.
При возможности учета пластической работы стали проверку прочности сжатого надежно раскрепленного сплошностенчатого элемента, работающего на изгиб в одной или двух плоскостях, СНиП предлагает производить по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где N, Mх и Mу — абсолютные значения продольной силы и изгибающих моментов относительно осей х—х и у—у;
Wхнт пл и Wпл унт — пластические моменты сопротивления ослабленного сечения относительно осей х—х и у—у.
Учет пластической работы стали допускается при отсутствии непосредственного воздействия динамических нагрузок.
Проверка устойчивости в плоскости действия момента. По методу проф. Ф.С. Ясинского:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

значения величин, входящих в формулу, пояснены ранее.
По методу, предложенному СНиП (только для стержней постоянного сечения),
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

или при расчете по допускаемым напряжениям
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Здесь N — сжимающая продольная сила, приложенная с эксцентриситетом е=М:N;
F — площадь поперечного сечения брутто;
φвн — коэффициент понижения несущей способности внецентренно сжатого элемента вследствие возможности потери устойчивости (коэффициент устойчивости).
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Для сплошностенчатых стержней величину коэффициента φвн определяют в зависимости от гибкости элемента в плоскости действия момента λх и от величины приведенного относительного эксцентриситета mпр = ηm. Здесь m — относительный эксцентриситет: m =e/ρ = M/N F/W = σи/σс. Величина W вычисляется для наиболее сжатого волокна в плоскости действия момента, то есть для той грани несимметричного сечения, по которой происходит суммирование сжимающих напряжений. Коэффициент влияния формы сечения η учитывает различие в развитии пластических деформаций в стержнях с разными поперечными сечениями. Сокращенно η называют коэффициентом влияния формы сечения, хотя он учитывает не только форму сечения, но и направление изгибающего момента. Для прямоугольных сечений η=1. В двутаврах при эксцентриситете в плоскости стенки, в таврах при эксцентриситете в сторону полки, а также в коробчатых сечениях при развитии пластических деформаций сразу выпадает большая часть сечения, поэтому для них значение коэффициента η принято наибольшим. В двутаврах при эксцентриситете, параллельном полкам, а также в крестовых сечениях при развитии пластических деформаций из работы выключается лишь небольшая часть сечения, коэффициент η≤1. Влияние формы сечения сказывается в наибольшей мере при малых гибкостях. Значения коэффициентов η приведены в таблице II—11, а φвн для сплошностенчатых стержней — в таблице II—12. При вычислении φвн влияние случайных эксцентриситетов не учтено, так как обычно величина их и влияние по сравнению с эксцентриситетами нагрузки очень малы.
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Если приведенный относительный эксцентриситет более 20, то проверки устойчивости по формуле (II—36) не требуется.
Для сквозных стержней постоянного сечения величину коэффициента φвн определяют в зависимости от приведенной гибкости элемента в плоскости действия момента λxпр и относительного эксцентриситета — mx (определение λxпр дано далее). Величину относительного эксцентриситета для стержней с решетками или планками, расположенными в плоскостях, параллельных плоскости изгиба, определяют по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где у1 — расстояние от нейтральной оси до оси наиболее сжатой ветви, но не менее чем расстояние до оси стенки ветви.
Значения коэффициентов φвн для сквозных стержней приведены в таблице II—13.
Значение изгибающего момента, по которому вычисляют эксцентриситет е=М/N, принимают равным:
а) для стержней с шарнирно опертыми концами — моменту, определяемому по формулам таблицы II—14;
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

б) для консолей — моменту в заделке;
в) для стоек постоянного сечения рамных систем — наибольшему моменту в пределах длины стойки;
г) для ступенчатых стоек рам — наибольшему моменту на длине участка постоянного сечения.
Проверка устойчивости из плоскости действия момента. Если изгибающий момент действует в плоскости наибольшей жесткости (Ix≥Iу) сжатого элемента, то, помимо двух рассмотренных выше возможностей, потери элементом несущей способности (прочность и устойчивость в плоскости действия момента), существует третья — потеря устойчивости из плоскости изгибающего момента. Центрально сжатый стержень теряет устойчивость в плоскости наибольшей гибкости, а при одинаковых условиях закрепления — в плоскости наименьшей жесткости. Изгибаемый элемент может потерять устойчивость тоже в плоскости наименьшей жесткости. Элемент, работающий на сжатие и изгиб, одновременно также может потерять устойчивость в плоскости наименьшей жесткости, то есть из плоскости действия момента. Значения критических напряжений, при которых сжато-изгибаемый элемент потеряет устойчивость, будут ниже, чем от потери устойчивости этим же элементом при раздельном действии только сжатия или только изгиба. В отличие от растяжения сжатие изгибаемого элемента снижает его несущую способность. Это обстоятельство учитывают введением в расчетную формулу устойчивости из плоскости изгиба коэффициента с≤1.
Устойчивость сжато-изгибаемых элементов постоянного сечения из плоскости действия момента при изгибе их в плоскости наибольшей жесткости (Ix≥Iy), совпадающей с плоскостью симметрии, по СНиП проверяют следующим образом.
1. При относительном эксцентриситете mx≤10, то есть если максимальные напряжения от изгиба превышают напряжения от сжатия не более чем в 10 раз, пользуются формулой:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где φу — коэффициент продольного изгиба элемента из плоскости изгиба относительно оси у—у (см. табл. II—2);
с — коэффициент, учитывающий понижение несущей способности сжатого стержня под влиянием изгибающего момента. Коэффициент с определяют по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где α и β — коэффициенты, определяемые по таблице II—15.
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Примечание. Пользование коэффициентами, установленными для стержней замкнутого сечения, допускается только при наличии не менее двух промежуточных диафрагм по длине стержня. В противном случае следует пользоваться коэффициентами, установленными для стержней открытого двутаврового сечения.
Обозначения, принятые в таблице 15: I1 и I2 — моменты инерции соответственно большей и меньшей полок относительно оси симметрии сечения у—у; λс — наименьшее значение гибкости стержня, при котором центрально сжатый стержень теряет устойчивость в упругой стадии, определяемое по таблице 16.
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

При определении mx (ф—ла II—39) за расчетный Mx принимают для консолей момент в заделке, а для стержней с концами, закрепленными от смещения перпендикулярно плоскости действия момента, максимальный момент в пределах средней трети длины стержня (но не менее половины наибольшего момента). При гибкости λy, превышающей значения λc, указанные в таблице II—16, коэффициент с должен не превышать для стержней замкнутого сечения — единицы, а для стержней открытого сечения значений, указанных в таблице II—17.
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

2. При относительном эксцентриситете mx≥15, то есть если максимальные напряжения от изгиба превышают напряжения от сжатия в 15 и более раз, следует пользоваться формулой:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

которая после подстановки взамен mx его значения MF/NW, и простейшего преобразования получает вид, лучше вскрывающий физический смысл явления:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Коэффициент φб определяют как обычно для балок, работающих на поперечный изгиб с промежуточными закреплениями сжатого пояса. При λу≤λс можно принимать φб=1. Значение ry для двутавровых балок часто колеблется от 0,20 до 0,24 ширины полки b. Для элемента из стали типа Ст. 3 λc = 100. Расстояние между связями, при котором не требуется проверки устойчивости элемента, работающего на изгиб и сжатие, составляет (20-24) b, то есть существенно большую величину, чем установлено для балок, только изгибаемых, работающих в более благоприятных условиях (см. табл. II—9).
3. При относительном эксцентриситете 10<mx<15 устойчивость сжато-изгибаемого элемента из плоскости изгиба проверяют по формуле (II—38), но с заменой коэффициента с на с'. Последний определяют по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Элементы, работающие на сжатие и изгиб в плоскости наименьшей жесткости (Iy≤Ix) и еу≠0, если λу≤λх, необходимо проверить на устойчивость из плоскости действия момента как центрально сжатый стержень, то есть пренебрегая в этой проверке неблагоприятным влиянием момента:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где φх — коэффициент продольного изгиба, определяемый по гибкости λх (см. табл. II—2).
Если λу≥λх, то проверять устойчивость из плоскости действия момента не требуется.
Проверка устойчивости сплошностенчатых элементов, работающих на сжатие и изгиб в обеих главных плоскостях. Устойчивость элементов со сплошной стенкой, подверженных сжатию и изгибу в обеих главных плоскостях, при совпадении плоскости наибольшей жидкости (Ix≥Iy) и плоскости симметрии проверяют по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Величины φy вн и с определяют, как указано в предыдущих пунктах настоящего параграфа.
Для элементов двутаврового сечения с неодинаковыми полками коэффициент влияния формы сечения η при вычислении my пр определяют по первой строке таблицы II—11.
Если приведенный относительный эксцентриситет my пр≤0,8mx, то, помимо проверки по формуле II—43, следует проверить устойчивость элемента, пренебрегая влиянием My, в плоскости действия Mx и из этой плоскости по формулам (II—36) и (II—38).
Если гибкость элемента в плоскости наибольшей жесткости Xx более гибкости λy, то следует дополнительно произвести проверку устойчивости элемента в плоскости наибольшей жесткости и наибольшей гибкости по формуле (II—36), пренебрегая влиянием My.
В случае несовпадения плоскости наибольшей жесткости (Ix≥Iy) и плоскости симметрии величину относительного эксцентриситета mx, вводимую в расчет, увеличивают на 25%.
Таким образом, расчет сжато-изгибаемого элемента заданного сплошного сечения состоит из двух проверок: устойчивости его в плоскости действия момента и устойчивости из этой плоскости; при наличии ослаблений в зоне максимальных моментов следует проверить и прочность. При проверке устойчивости необходимо следить за тем, чтобы гибкость стержня не превосходила допускаемую по нормам. При очень большом влиянии изгибающего момента по сравнению с влиянием нормальной силы следует проверить прогиб.
Подбор сечения внецентренно сжатого сплошного стержня целесообразно вести в следующем порядке.
В зависимости от назначения стрежня, от соотношения lx и ly, а также от значений N и M и их соотношения M:N=e выбирают форму поперечного сечения.
Далее задаются гибкостью стержня в плоскости действия момента λx<[λ]. Обычно по экономическим соображениям принимают λx=40/80 (чем больше эксцентриситет, тем меньше принимают значение λх).
Затем находят значение требуемого радиуса инерции rтр=lx:λх и требуемую высоту сечения hтр=rтр:kф. Для прокатных и многих гнутых профилей определять hтр не обязательно, так как в стандартах даны непосредственно значения радиусов инерции поперечных сечений. В «Справочнике конструктора по стальным конструкциям» Проектстальконструкция, 1965, даны также значения r и для большого ряда сварных двутавров.
После определения rтр или hтр находят требуемую площадь сечения по формуле II—44, аналогичной формуле II—36:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Для предварительного определения φвн необходимо вычислить величину приведенного эксцентриситета:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Поскольку в начале подбора уже задались формой сечения и гибкостью стержня Xx, то величину коэффициента т) влияния формы сечения легко определить по формулам таблицы II—11. Величину р =Wx:F при предварительных расчетах ориентировочно принимают для обычных двутавров (0,29/0,33) h; для широкополочных прокатных и сварных двутавров (0,37/0,40) h; для швеллеров 0,30 h; для двустенчатых (коробчатых) сечений (0,38/0,42) h и для пары неравнобоких уголков, поставленных меньшими полками врозь, (0,29/0,33) h (для обушков).
Величину р можно определить и по формуле:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

где r — радиус инерции сечения (требуемое значение его найдено ранее);
z — расстояние до наиболее сжатого волокна от нейтральной оси.
Для симметричных профилей
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

По λх и mхпр находят в таблице II—12 соответствующее им значение коэффициента φвн и, наконец, находят требуемую площадь сечения:
Совместное действие изгиба стальных конструкций с растяжением или сжатием

Определив таким путем значения hтр или rтр и Fтр, подбирают наиболее близко подходящий профиль.
Затем принятое сечение стержня обязательно следует проверить на устойчивость как в плоскости действия момента, так и из этой плоскости (см. предыдущий пример). При наличии ослаблений, кроме того, необходимо проверить прочность по ослабленному сечению.