21.08.2017
Современное жилище – это не просто защита от непогоды и холода. Для производства комфорта загородные дома и городские квартиры...


21.08.2017
Первое, что следует знать о натяжных потолках – самостоятельно сделать такую отделку не получится. Не важно, какие умения...


21.08.2017
Новые пластиковые окна способны решить множество проблем, но только в том случае, если выбраны они будут правильно. Разочарования...


21.08.2017
Навесные вентилируемые фасады – довольно сложные многослойные конструкции. Все элементы их решают определенные задачи. Если речь...


18.08.2017
В последние несколько лет весьма распространенными стали пластиковые двери. Объясняется это их практичностью, эстетичным внешним...


18.08.2017
Эффективное автономное отопление для коттеджей и дач является головной болью их владельцев. Централизованная подача тепла нередко...


Работа деревянных элементов и их расчет

10.02.2017

Центрально растянутые элементы

Разрушение древесины при растяжении начинается со скольжения мицелл и заканчивается разрывом волокон, зачастую сопровождающимся скалыванием на участках между отдельными волокнами (рис. II—1). Разрыв древесины происходит при малых деформациях (менее 1%) и носит хрупкий характер. На работе и прочности растянутых элементов строительной древесины очень неблагоприятно сказываются сучки, косослой, трещины и ослабления.
Самое неблагоприятное влияние на прочность растянутых деревянных элементов оказывают сучки, которые не только ослабляют площадь поперечного сечения, но и, располагаясь несимметрично по отношению к продольной оси элемента, переводят работу центрально растянутых элементов в категорию пространственно внецентренно растянутых, то есть резко ухудшают условия их работы. Кроме того, возле каждого сучка более или менее развит присучковый косослой, то есть резкое и значительное отклонение волокон от своего прямого направления. Прочность же древесины на растяжение под углом к волокнам снижается в десятки раз по сравнению с прочностью вдоль волокон. Особенно неблагоприятен косослой, выходящий на кромки.
Наблюдения показали, что вредное влияние ослаблений, заключающееся в концентрации напряжений, сказывается на работе растянутых деревянных элементов значительно сильнее, чем на работе металлических. Объясняется это тем, что разрушение деревянных растянутых элементов происходит почти мгновенно, площадка текучести на диаграмме растяжения древесины отсутствует. Поэтому перед разрушением растянутого деревянного элемента происходит не выравнивание напряжений в параллельно работающих волокнах, а последовательный разрыв наиболее нагруженных из них.
В центрально растянутых элементах необходимо проверять прочность по площади с наибольшим ослаблением:

где N — действующее в элементе усилие;
Fнт — расчетная площадь ослабленного сечения.

При определении расчетной площади Fнт условно считают совмещенными в одном поперечном сечении все ослабления элемента, если расстояние между ними вдоль элемента не превышает 20 см.

В растянутых стержнях, состоящих из нескольких элементов, следует проверить прочность каждого элемента по его наиболее ослабленному сечению. Усилия между элементами при равномерном загружении распределяются пропорционально площадям их поперечных сечений брутто. В случаях неравномерного загружения совместно работающих растянутых элементов (например, прокладки и накладки растянутых стыков на нагелях) усилие в каждом отдельном элементе определяют в зависимости от грузоподъемности прикрепляющих его связей.
Подбор сечения растянутых элементов ведут в порядке, обратном проверке напряжений. Требуемую площадь определяют по формуле:

где kос = F:Fнт — коэффициент, учитывающий ослабление элемента.
Для предварительных расчетов величину kос можно принять равной 1,25-1,50. В отдельных случаях значение kос приближается к 2.
После расчета и размещения связей, прикрепляющих данный элемент, необходимо проверить напряжения по формуле (II—1) с учетом действительных ослаблений связями, примененными в конструкции.
Предел прочности древесины хвойных пород при растяжении поперек волокон весьма невелик и равен примерно 1/45 предела прочности при растяжении вдоль волокон. Пороки строительной древесины при растяжении поперек волокон сказываются еще сильнее, чем при растяжении вдоль волокон. Например, трещины (усушечные, морозобойные и др.) или прорость могут свести к нулю прочность древесины на растяжение поперек волокон. Поэтому в несущих деревянных конструкциях не следует допускать работу древесины на растяжение поперек волокон.
Центрально сжатые элементы

Сжатие вдоль волокон. Древесина при сжатии вдоль волокон, даже при очень коротких образцах, обычно разрушается от потери устойчивости отдельными наиболее прочными, а потому и наиболее нагруженными волокнами с изгибом их на небольшой длине в сторону более мягких соседних слоев древесины (рис. II—2). Раздробление (рис. II—2,в) — последующая (вторичная) форма разрушения. Предел пропорциональности при сжатии составляет около 0,5—0,75 предела прочности, то есть значительно меньшую долю, чем при растяжении, где он доходит до 0,9 ?пч р (рис. II—3). Размер деформаций, получаемых при разрушении образца сжатием, существенно больше, чем при разрушении от растяжения. В сжатых элементах выравнивание случайных местных перенапряжений происходит в большей мере, чем в растянутых. Площадь диаграммы «напряжения — деформации» при сжатии древесины больше, чем при ее растяжении. Эта площадь определяет количество работы, затрачиваемой на разрушение образца, и таким образом в некоторой мере характеризует большую или меньшую вязкость материала при том или ином виде загружения. Влияние сучков, косослоя и других пороков строительной древесины сказывается на работе сжатых элементов значительно слабее, чем на работе растянутых элементов.

Все это позволяет считать работу деревянных элементов на сжатие более надежной и потому более желательной, чем на растяжение.
В центрально сжатых элементах необходимо проверить их прочность:

В отличие от металлических конструкций, в которых почти всегда решающей является проверка устойчивости, в деревянных конструкциях из-за больших ослаблений (до 50% площади брутто) при определении размеров сжатых стержней решающей нередко может оказаться проверка прочности. Проверка устойчивости учитывает возможность потери несущей способности центрально сжатым стержнем под влиянием продольного изгиба. Потеря несущей способности может произойти при напряжениях значительно ниже предела прочности и тем более низких, чем выше гибкость стержня. В таком случае длинные центрально сжатые стержни, рассчитанные без учета продольного изгиба, имели бы запас меньший, чем короткие сжатые стрежни. Критическую нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости прямолинейным центрально сжатым шарнирно-закрепленным стержнем, определяют, следуя методу Эйлера, по формуле:

где Е — модуль продольной упругости;
I — момент инерции поперечного сечения стержня брутто;
l — длина стержня.
Из формулы (11—5) можно определить критическое напряжение потери устойчивости:

где F — площадь и r — радиус инерции перечного сечения стержня.
Обозначив отношение l:r, называемое гибкостью стержня, через ?, получим:

Отношение величины критического напряжения ?кр к величине предела прочности при сжатии ?пч

показывает, насколько необходимо снизить допускаемую на центрально сжатый стержень нагрузку, или (что равносильно) расчетное сопротивление древесины, чтобы обеспечить одинаковый запас в длинных и коротких стержнях.

Из формул II—6 и II—7 видно, что коэффициент ? зависит от гибкости стержня X и что с увеличением гибкости ? значение ? падает:

Как показали многочисленные испытания и теоретические подсчеты, отношение E:?пч в древесине довольно постоянно и может быть принято равным 312. Тогда формула (II—8) примет вид:

Графически эта формула изображается гиперболой (рис. II—4).
Формула Эйлера (II—5) выведена в предположении, что материал совершенно упруг и деформации его следуют закону Гука. Поэтому область, в которой может быть применена формула Эйлера, определится из требования: критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности при сжатии древесины вдоль волокон. Предел пропорциональности ?проп составляет около 0,50—0,75 предела прочности ?пч. Приняв низший предел ?пч = 350 кг/см2 и ?проп = 0,5 ?пч = 175 кг/см2, а модуль упругости E = 100 000 кг/см2, получим:

Таким образом, формула Эйлера применима для проверки устойчивости сжатых деревянных стержней, гибкость которых не менее 75. При расчете стержней с меньшей гибкостью формула II—5 и полученная из нее формула II—9 дают очень большие запасы и могут быть применены только в измененном виде. Энгессер и Карман показали, что в этих случаях можно пользоваться формулой Эйлера II—5 при условии замены значения модуля упругости Е, определенного при работе древесины в пределах пропорциональности, приведенным значением модуля упругости Eпр, учитывающим переменность значений модуля упругости E1 при напряжениях выше предела пропорциональности.
Для элементов с прямоугольным поперечным сечением значение приведенного модуля упругости может быть определено по формуле:

Критическая сила потери устойчивости стержнем с гибкостью ??75 определится по формуле:
Работа деревянных элементов и их расчет

а коэффициент ? — по формуле:

Для определения отношения E:E1, требуемого при вычислении коэффициента kпр, по формуле (II—10), в ЦНИПС были произведены специальные опыты на сжатие коротких сосновых образцов. В результате этих опытов были получены пучок кривых, характеризующих работу отдельных образцов, и приведенная диаграмма, характеризующая работу сосновой древесины на сжатие (рис. II—3,б). Обработка последней позволила построить теоретическую кривую значений коэффициента ? при гибкости стержней менее 75, показанную на рисунке II—4 штрихпунктиром с точками. Эта кривая для дерева впервые построена в нашей стране.
На той же фигуре точками показаны результаты испытаний нескольких сот сосновых стержней, проведенных в том же институте для непосредственного (экспериментального) определения значений коэффициента ?. При малых гибкостях эти точки расположены несколько ниже теоретической кривой. При гибкостях более 40 наблюдается очень хорошее совпадение результатов опытов с теоретической кривой, построенной ЦНИПС по методу Энгессера — Кармана и по основной формуле Эйлера.
Кривая значений коэффициента ?, принятая в наших нормах (начиная с 1938 г.), построена при ??75 по указанной ранее формуле Эйлера (II—9):

а при ??75 по формуле, предложенной Д.А. Кочетковым:

Нормативная кривая показана на рисунке II—4 сплошной линией. Она хорошо совпадает с найденными путем экспериментов значениями коэффициентов ?.
Для удобства определения при расчетах коэффициента ? на рисунке II—5 дан график, у которого внизу приведены три шкалы гибкости. Первая — выражена в виде обычного отношения приведенной расчетной длины стержня к радиусу инерции поперечного сечения (?=l:r), вторая — как отношение длины к размеру поперечного прямоугольного сечения и третья — отношение длины к диаметру круглого поперечного сечения.
При составлении второй и третьей шкал было учтено, что радиус инерции прямоугольного сечения (рис. II—5):

Анализ результатов большого количества лабораторных испытаний на сжатие вдоль волокон древесины различных пород разной влажности и переменного качества показал, что изменение модуля упругости и предела прочности при сжатии древесины происходит приблизительно по одному и тому же закону, то есть что диаграммы работы различной древесины на сжатие вдоль волокон как бы подобны. Поэтому хотя кривая ? построена на основе экспериментов с воздушносухими сосновыми образцами, однако принятый при обработке этих экспериментов метод относительных величин (E:?пч и Е:Е1) позволяет с достаточной для практики точностью распространить полученные результаты на все породы строительной древесины различной влажности и пользоваться при всех расчетах одной кривой значений ?.
В отличие от стальных конструкций при определении коэффициента ? для сжатых деревянных стержней не был введен дополнительный коэффициент безопасности, учитывающий неблагоприятное влияние случайных и конструктивных эксцентриситетов.
Влияние этих факторов менее существенно, чем влияние неизбежных сучков и присучкового косослоя.
При проверке устойчивости центрально сжатых стержней по формуле II—4:

учитывают полную площадь сечения Fр=F, если ослабления не превышают 1/4F и не выходят на ребро. При больших ослаблениях, не выходящих на ребро, в расчет вводят Fр=4/3Fнт. Если ослабления выходят на ребро и симметричны, то в расчет вводят Fр=Fнт. При несимметричных ослаблениях, выходящих на ребро, необходимо учитывать влияние возникающего при этом момента и рассчитывать такие стержни как внецентренно сжатые.
При расчете элементов деревянных ферм полагают, что все они в узлах закреплены шарнирно. Поэтому наличие больших ослаблений в узлах не отражается на расчете сжатых стержней пояса и решетки, если сами узлы закреплены от потери устойчивости поясом из плоскости фермы.

Критическая нагрузка и критические напряжения, при которых происходит потеря устойчивости центрально сжатым стержнем, зависят от способа закрепления концов стержня и от способа приложения нагрузки. Чтобы для каждой разновидности закрепления концов стержня не строить отдельные кривые значения ?, в практических расчетах принято действительную длину стержня l заменять приведенной длиной lпр = kпр l. Коэффициент kпр учитывает увеличение или уменьшение значения критической нагрузки в случае изменения характера зацепления концов стержня по сравнению с критической нагрузкой стержня, у которого оба конца шарнирно закреплены. Значения коэффициента kпр принимают равными: при одном защемленном и другом свободно нагруженном конце — 2,0; при обоих шарнирно закрепленных концах — 1,0; при одном защемленном и другом шарнирно закрепленном конце — 0,8; при обоих защемленных концах — 0,65.
В третьем и четвертом случаях значения коэффициента kпр — 0,8 и 0,65 в деревянных конструкциях приняты несколько выше теоретических значений этих коэффициентов (соответственно 0,70 и 0,50), потому что из-за усушки и обмятия древесины поперек волокон полностью защемить концы деревянных стержней почти невозможно. После усушки и обмятия защемленные концы деревянных стержней получают возможность некоторого поворота, что снижает эффект защемления и уменьшает значение критической нагрузки. Это обстоятельство следовало бы учитывать и при определении приведенной длины стержня с одним свободным и вторым защемленным концом.
Учет влияния способа приложения нагрузки на величину критических напряжений в деревянных конструкциях не нормирован.
Значения предельных (наибольших) гибкостей, допускаемых в сжатых деревянных стержнях: пояса, опорные раскосы и опорные стойки ферм, арок и рам — 120; прочие элементы конструкций — 150; связи — 200.
Проверку устойчивости центрально сжатого цельного деревянного стержня проводят в следующем порядке:
1) определение приведенной длины стержня lпр = kпрl;
2) определение наименьшего радиуса инерции r = ?1/F;
3) определение наибольшей гибкости стержня ?макс = lпр/r, учитывая при этом, что как свободная длина, на которой может деформироваться стержень, так и характер закрепления его концов могут быть различными в разных направлениях;
4) сравнение найденной гибкости с допускаемой ?макс?[?];
5) определение коэффициента ?мин (по графику II—5);
6) определение расчетной площади стержня Fр;
7) проверка напряжений по формуле (II—4):

Кроме того, нужна проверка прочности сжатого стержня по сечению с наибольшим ослаблением (формула II—3):

Обратная задача — подбор сечений центрально сжатых стержней — может быть решена в следующем порядке:
1) задаются гибкостью X (для основных элементов — около 60—100, для второстепенных — 100—120) и находят соответствующий принятой гибкости коэффициент ?;
2) определяют приведенную длину стержня с учетом характера закрепления его концов lпр = kпрl;
3) по принятой гибкости X определяют требуемый радиус инерции rтр = lпр:? и значение коэффициента ? (рис. II—5);
4) определяют один из двух требуемых размеров прямоугольного сечения bтр = rтр:0,289;
5) определяют требуемую площадь поперечного сечения:

6) определяем второй размер прямоугольного сечения:

Если приведенная длина элемента в обоих направлениях одинакова, то, очевидно, значение атр не может быть меньше bтр, так как в таком случае гибкость элемента оказалась бы более намеченной.
Если бы подбиралось сечение сжатого бревна, то из формул (II—14)

К проектированию должно быть принято значение d, лежащее между двумя найденными.
После предварительного подбора сечения необходимо сделать его проверку, так как в результате различных округлений размеров величина расчетных напряжений может весьма существенно отклониться от расчетного сопротивления.
Использование сбега бревен в сжатых элементах. При изготовлении сжатых деревянных элементов весьма целесообразно сохранять полностью или частично естественный сбег бревен и учитывать его расчетом. На рисунке II—6 сопоставлены грузоподъемности сжатых элементов длиной 4 и 6 м, изготовленных из цилиндрического бревна (а), бревна с сохранением сбега (б), из двукантного бруса (в), из пирамидального (г), обзольного (д) и чистоообрезного (е) брусьев. Исходным сырьем для всех шести сравниваемых элементов явилось естественное бревно с диаметром в тонком конце 20 см. Сравнение сделано по величине произведения F?мин, определенного для сечения в середине длины элемента.

Из этого сопоставления видно, что обзольный брус и цилиндрическое бревно имеют одинаковую грузоподъемность, превосходящую грузоподъемность чистообрезного бруса, выпиленного из того же бревна, в 2,5 раза. Обзольный брус получается после двукратного пропуска бревна в лесопильной раме. Цилиндрическое бревно требует ручной обработки и большого количества времени. При вытесывании цилиндрических бревен d=20 см и 1—5 м на щепу идет 18% древесины основного бревна, а при l=10 м — 32,5%. Кроме того, следует отметить, что дальнейшая обработка обзольных брусьев и устройство примыканий к ним других элементов проще, чем цилиндрических бревен. Наконец, отходы, получаемые при выпиливании обзольных брусьев, могут быть использованы, чего нельзя сделать с отходами, получаемыми при изготовлении цилиндрических бревен.
По этим причинам следует применять обзольные брусья, а не цилиндрические бревна.
При выпиливании чистообрезных брусьев из бревен d=18, 22 и 26 см длиной 5—8 м теряется на отходы 50—56% при h:b=7:5 и 47—54% при h:b= 1:1. Объем отходов возрастает с увеличением длины и уменьшением диаметра бревна.
Сжатые элементы из бревен с сохранением естественной конической формы проверяют на продольный изгиб с введением в расчет площади и радиуса инерции сечения, расположенного посредине длины. Получаемые при таком приближенном способе расчета перенапряжения не превышают 6%, если отношение диаметра d2 в толстом конце бревна к диаметру d1 в тонком конце не превышает 1,4. При d2:d1 = l,3 перенапряжения составят всего 3,5%.
Так же по сечению в середине длины можно рассчитывать и другие сжатые элементы из обзольных, двукантных и пирамидальных брусьев. Таблицы геометрических характеристик их поперечных сечений приведены в ряде книг; например А.И. Отрешко «Справочник конструктора. Деревянные конструкции», Госстройиздат, 1957 г.
Смятие и сжатие под углом к волокнам

Вследствие волокнистого строения древесины работа ее на сжатие под большим углом к волокнам протекает в условиях, существенно отличающихся от работы древесины на сжатие вдоль волокон. На рисунке I—2 представлены кривые деформаций малых образцов древесины от сжатия их силами, составлявшими с направлением волокон углы от 0 до 90°.
При углах наклона волокон к усилию примерно до 50° можно отчетливо зафиксировать момент разрушения образца и установить величину временного сопротивления сжатию. Значение предела пропорциональности при этом составляет величину около 1/2?пч. Разрушение при малых углах обычно происходит от потери местной устойчивости отдельными, наиболее нагруженными волокнами или от излома последних (см. рис. II—2). При средних углах наблюдается разрушение образцов от сдвига годовых слоев. При больших углах происходит раздавливание волокон древесины в поперечном направлении и сплющивание образцов (рис. II—7). Последнее сопровождается большими деформациями и существенным изменением первоначальной формы.

Рост деформаций происходит весьма длительное время при непрекращающемся, хотя и медленном, росте напряжений (см. рис. I—2). Момент разрушения в случаях сжатия древесины поперек волокон обычно невозможно установить. Так же трудно установить и величину предела пропорциональности, потому что в этом случае неупругие (невозвратимые) деформации начинаются весьма рано. Величина условного предела пропорциональности при сжатии поперек волокон составляет у хвойных пород менее 1/3 предела прочности. Лиственные породы с сильно развитыми сердцевинными лучами (дуб, клен, береза) работают на сжатие поперек волокон значительно лучше, чем хвойные.
При сжатии поперек волокон различают случаи сжатия по всей поверхности (рис. II—8, а—в) и сжатия на части длины образца (рис. II—8, г). При испытании лабораторных образцов, кроме того, различают случаи: когда сжимающее усилие направлено по касательной к годовым слоям (рис. II—8,а) — тангенциальное сжатие, когда сжимающее усилие направлено перпендикулярно к годовым слоям (рис. II—8,в)—радиальное сжатие, и промежуточный случай (рис. II—8,б), когда годовые слои составляют с направлением усилия некоторый угол. В последнем случае в процессе деформаций происходит сдвиг по годовым слоям и прочность образцов оказывается наименьшей. Сопротивление хвойной древесины тангенциальному сжатию примерно в 1,5 раза выше, чем радиальному.

Вследствие весьма больших деформаций, получаемых при сжатии древесины поперек волокон, и малой вероятности доведения ее до потери несущей способности величину расчетного сопротивления назначают с учетом размера деформаций, допустимых под расчетной нагрузкой без ущерба для работы всей конструкции. При этом желательно, чтобы расчетное сопротивление не превышало значения предела пропорциональности, так как в противном случае в древесине могут начаться деформации пластического течения, не прекращающиеся со временем.
Характер работы древесины на сжатие поперек волокон и размер получаемых при этом деформаций в сильной мере зависят от того, происходит ли сжатие по всей поверхности образца или только на части его длины (рис. II—9).

В первом случае древесина работает только на сжатие, во втором — помимо работы на простое сжатие части древесины, лежащей непосредственно под нагруженной площадкой, древесные волокна весьма интенсивно работают на изгиб и растяжение у граней сминающего штампа. Штамп не может опуститься вниз до тех пор, пока волокна на ближайшем к штампу участке не изогнутся и не растянутся. При длинных ненагруженных концах испытуемого образца работа волокон на изгиб и растяжение сопровождается разрывом верхней части их (рис. II—10). При относительно коротких ненагруженных концах под влиянием изгиба и растяжения части волокон происходит расщепление концов образца (см. рис. II—8, г) и более быстрый рост деформаций сжатия, чем при длинных свободных концах.
Таким образом, сопротивление древесины сжатию и смятию поперек волокон слагается из двух видов ее работы:
1) непосредственное сжатие под штампом— это сопротивление пропорционально площади штампа;
2) изгиб и растяжение волокон — это сопротивление пропорционально ширине сминающего штампа, но не ширине бруса, если штамп уже бруса (см. рис. II—9, г).
В общем сопротивлении бруса сжатию — смятию относительное значение работы волокон на изгиб и растяжение возрастает с уменьшением ширины сминающего штампа (рис. II—11).

Вследствие высокой сопротивляемости древесины изгибу и растяжению вдоль волокон и ничтожно малой — поперек волокон поддерживающее влияние ненагруженной части сказывается только со стороны, расположенной вдоль волокон.
При очень узких сминающих штампах работа древесины на изгиб и растяжение преобладает над работой непосредственного сжатия. Размер получаемых при этом деформаций сильно уменьшается, а сам характер работы на сжатие — смятие поперек волокон приближается к характеру работы древесины вдоль волокон (рис. II—11).

Эта особенность учитывается нашими нормами, назначающими разные расчетные сопротивления при сжатии или смятии поперек волокон по всей поверхности Rc90=R'см90=18 кг/см2 и при сжатии на части длины (см. табл. I—2). R"см90=30 кг/см2. В последнем случае, чтобы устранить возможность расщепления концов (см. рис. II—8,г), назначают длину ненагруженной части не менее высоты сминаемого элемента А и не менее ширины площадки смятия с.
Расчетные сопротивления древесины смятию под углом к волокнам можно определить по рисунку I—13 или по формуле I—1.
Величину расчетного сопротивления смятию поперек волокон древесины сосны и ели на части длины с при соблюдении указанных выше условий определяют по формуле:

Явление смятия под очень узкими штампами встречается в нагельных соединениях и нормируется особо.
Изгибаемые элементы

Вопросы прочности. При разрушении от изгиба в наиболее напряженной части растянутой зоны деревянных образцов разрыв волокон обычно сопровождается скалыванием и расщеплением. В образцах из высококачественной древесины разрушению растянутой части предшествует местная потеря устойчивости волокон и образование складок в сжатой зоне. Особенно рано появляются складки у мест приложения больших сосредоточенных грузов. На образование их оказывают влияние местные напряжения сжатия, направленные поперек волокон.
Работа древесины при растяжении и при сжатии протекает в несколько отличных условиях. Предел прочности и предел пропорциональности при растяжении выше, чем при сжатии (см. рис. II—3,с). Отношение ?проп:?пч при растяжении больше, чем при сжатии. Также при растяжении несколько выше модуль продольной упругости. Влияние неизбежных в строительной древесине пороков на работе растянутых элементов сказывается значительно сильнее, чем на работе сжатых.
Это различие в работе древесины при растяжении и при сжатии отражается и на работе изгибаемых элементов, у которых, как известно, одна часть волокон растянута, а другая — сжата (рис. II—12).

При загружении изгибаемого элемента пропорциональность между напряжениями в отдельных точках поперечного сечения и расстояниями последних от нейтральной оси сохраняется только на первом этапе, пока наиболее удаленные сжатые волокна не перейдут в состояние пластического течения. Дальнейшее приращение напряжений у наиболее удаленных сжатых волокон замедляется. Напряжения у внутренних сжатых волокон возрастают быстрее. Благодаря этому происходит выравнивание напряженного состояния сжатой зоны (рис. II—13). Напряжения в растянутой зоне остаются в пределах упругости, а величина их остается пропорциональной расстояниям от исследуемых точек до нейтральной оси более длительное время. Это замедление особенно сильно сказывается в элементах с круглым поперечным сечением.

Нейтральная ось в изгибаемом деревянном элементе после достижения в сжатой зоне упруго-пластического состояния начинает смещаться в сторону растянутых волокон. В этом нетрудно убедиться, приравняв нулю сумму проекций на нейтральную ось всех внутренних сил (равнодействующих сжатой и растянутой зон). Абсолютная величина наибольших напряжений растянутой зоны значительно превышает величину максимальных напряжений сжатия того же сечения.
Перед разрушением изгибаемого элемента наиболее напряженные сжатые волокна обычно теряют устойчивость и образуют на сжатой грани складки. Напряжения в растянутой зоне достигают предела текучести и почти сразу затем — предела прочности; одновременно происходит разрушение балки. Наличие сучков или только значительного присучкового косослоя в растянутой зоне может изменить последовательность разрушения; разрыв волокон может начаться ранее образования складок в сжатой зоне.
Определение нормальных напряжений в деревянном изгибаемом элементе по обычным формулам (например, для прямоугольного сечения ?=М:W=M:bh2/6), выведенным в соответствии с гипотезой Бернулли о сохранении при изгибе плоских сечений и с законом Навье о прямой пропорциональности между напряжениями и расстояниями их до нейтральной оси, возможно без оговорок только на первой стадии работы древесины, то есть в упругой стадии изгиба (рис. II—13, б, е). Применение этих формул в дальнейших стадиях является рабочим допущением, оправданным относительно небольшими расхождениями между величиной моментов, определенных с использованием закона Навье, и реальными изгибающими моментами, определенными экспериментальным путем. При этом следует помнить, что действительные максимально растягивающие напряжения в упруго-пластическом состоянии и в момент разрушения всегда будут выше, чем напряжения, вычисленные по обычным формулам, а действительные напряжения сжатия — меньше теоретических (рис. II—12 и II—13). Этим объясняется то обстоятельство, что теоретическое временное сопротивление при изгибе, определенное с использованием закона Навье, обычно в 1,54-1,7 раза выше временного сопротивления той же древесины простому сжатию вдоль волокон и ниже временного сопротивления растяжению.
С увеличением отношения высоты балки к ее пролету значение теоретического (условного, вычисленного в предположении справедливости закона Навье и закона Гука) временного сопротивления изгибу падает. Так, по данным Е.М. Знаменского, при возрастании высоты прямоугольной балки от h:l=1:12 до h:l=1:6 временное сопротивление изгибу снижается примерно на 12%. При переходе от испытания на изгиб стандартных лабораторных образцов с высотой сечения 2 см к брусьям высотой 15—20 см наблюдается снижение временного сопротивления примерно на 20%.
Бревна (элементы с круглым поперечным сечением) при изгибе находятся в более благоприятных условиях, чем брусья и доски (элементы с прямоугольным сечением). В бревнах значительно слабее сказывается влияние сучков и косослоя; пластические деформации развиваются более медленно; наконец, превышение действительного разрушающего момента над теоретическим вычисленным по расчетному моменту сопротивления W=пd3/32) в бревнах больше, чем в элементах с прямоугольным поперечным сечением. Это обстоятельство позволило установить для изгибаемых элементов из бревен расчетное сопротивление древесины выше, чем для элементов прямоугольного сечения (см. табл. I—2).
Расчет деревянных изгибаемых элементов преследует цель обеспечить их прочность и жесткость.
Проверка прочности состоит:
1) в определении нормальных напряжений

где Wнт — момент сопротивления поперечного сечения, вычисленный с использованием закона Навье.
Если при этом значение максимального момента не совпадает с местом максимального ослабления, то нормальные напряжения должны быть определены дважды: в месте максимального момента и в месте максимального ослабления;
2) в определении скалывающих напряжений

где Q — наибольшее значение поперечной силы;
S — статический момент половины поперечного сечения брутто относительно нейтральной оси;
I — момент инерции поперечного сечения брутто относительно той же оси;
b — толщина поперечного сечения по нейтральной оси.
Роль скалывания при изгибе впервые выявил более 100 лет назад русский инженер Д.И. Журавский, который и дал решение этой задачи.
Для прямоугольного сечения отношение I:S = 2/3 h и формула (11—17) принимает вид:

Вследствие того что изгибаемые деревянные элементы обычно имеют прямоугольное или круглое сечение с большой шириной по нейтральной оси, скалывающие напряжения в них весьма редко достигают величины расчетного сопротивления.
Вопросы жесткости. Проверка жесткости деревянных изгибаемых элементов состоит в определении упругого прогиба f:l от нормативных нагрузок и в сравнении величины его с наибольшим допускаемым прогибом [f:l] (см. табл. II—2).
Общую устойчивость деревянных балок не проверяют, так как обычная форма поперечного сечения таких балок (круг или прямоугольник с небольшим отношением высоты к ширине) обеспечивает их избыточную боковую жесткость. Лишь при длинных балках, выполненных из широких и тонких досок, поставленных на ребро, может создаться необходимость в раскреплении их в боковом направлении.
Упругий прогиб под нормативной нагрузкой определяют по обычным формулам; например, при нормативной равномерно распределенной нагрузке qн кг/см:

при одном сосредоточенном грузе Pн кг посредине пролета:

где I — момент инерции балки по сечению брутто.

Сечения деревянных изгибаемых элементов подбирают по условиям прочности и жесткости в следующем порядке.
1. Определяем требуемый момент сопротивления балки из условия ее прочности Wтр=М:Rи. Если у места максимального момента балка имеет ослабления, то предыдущая формула примет вид: Wтр=kос(M:Rи), где kос — коэффициент, учитывающий влияние ослаблений. Величина kос может колебаться весьма значительно. Для предварительных расчетов можно принимать kос=1,1-1,5.
Задаемся шириной балки b и из формулы W=bh2/6 находим требуемую высоту балки прямоугольного сечения:

При круглом сечении:

Значения моментов сопротивления и других геометрических характеристик поперечных сечений бревен круглых и различно опиленных, а также брусьев и досок см. главу II Справочника проектировщика. «Деревянные конструкции». А. И. Отрешко Стройиздат, 1957.
2. Определяем по допускаемому прогибу требуемый момент инерции балки, например при равномерно распределенной нагрузке (см. формулу II—18):

откуда находим требуемую высоту балки прямоугольного сечения шириной b:

Из двух требуемых значений высоты балки принимаем большее.
Если из бревна выпиливается один прямоугольный брус, то наибольший момент сопротивления его будет получен при соотношении высоты поперечного сечения к ширине h:b = 7:5, а момент инерции при h:b = 12:7.
Использование сбега бревен в изгибаемых элементах. При изготовлении балок весьма целесообразно сохранять полностью или частично естественный сбег бревен и учитывать его расчетом. На рисунке II—14 сопоставлена грузоподъемность по прочности (моменты сопротивления) и по жесткости (моменты инерции) шести балок, полученных из бревна диаметром в тонком конце d = 18 см. Это сопоставление показывает, что обзольный брус имеет грузоподъемность почти в 2 раза большую, чем чистообрезной брус, и почти такую же, как цилиндрическое бревно. Изготовление же цилиндрического бревна требует времени и ручного труда значительно больше, чем изготовление обзольного бруса. Еще более выгодным является двукантный брус (лежень).

Балки переменного сечения (коничность сохранена полностью или частично) при равномерно распределенной или другой симметричной нагрузке с максимальным изгибающим моментом посредине пролета рассчитывают приближенно по сечению посредине пролета, как балки постоянного сечения. При этом в расчетах принимают увеличение диаметра бревна на 1 см на каждый метр расстояния сечения от тонкого конца.
Получаемое при таком приближенном расчете перенапряжение для конических бревен, опиленных с одной или двух сторон, не превышает 2,54%, а для брусьев обзольных будет еще меньше, если соотношение их максимального (d2) и минимального (d1) диаметров не превышает d2:d1?1,4. Погрешность при определении жесткости в этих же случаях меньше 2,4%. Сечение с действительными максимальными напряжениями находится на расстоянии 0,02—0,08 пролета от его середины и смещено в сторону тонкого конца; в эту же сторону на 0,01—0,02 пролета смещено и место действительного максимального прогиба балки.
Указанное соотношение d2:d1?1,4 охватывает почти все встречающиеся на практике случаи; например, при диаметре бревна в тонком конце 20 см и более длина его может быть 8 м.
Устройство подреза у опор изгибаемых элементов. В ряде случаев при опирании изгибаемых элементов необходимо устраивать подрезку. Большое и резкое изменение поперечного сечения балки в этом месте может привести к ее расщеплению под воздействием поперечных сил (рис. II—15,а). Если подрезка была выполнена в полусухой или сырой древесине, то у места ее, кроме того, возникнут значительные напряжения от усушки. Для уменьшения влияния последних подрезку следует осуществлять под острым углом к направлению волокон (рис. II—15, б) с tg ?=hc:lc=1:4, а не под прямым (рис. II—15, е).
Высота подреза hc растянутых волокон цельных балок на опорах должна быть:
- в зависимости от соотношения между величиной опорной реакции А от расчетных нагрузок и размером поперечного сечения bh (рис. II—15): при A:bh?16 кг/см2 hc?0,1h; при А:bh=4 кг/см2 hc?0,25h; при A:bh?2,5 кг/cм2 hc?0,5h (для промежуточных значений отношения A:b/г допустимая высота подреза определяется линейной интерполяцией);
- в зависимости от высоты h поперечного сечения при h?18 см hc?0,3h; при h = 18-12 см hc?0,4А; при h?12 см hc?0,5А.
Во всех случаях длина с опорной площадки подреза должна быть не более высоты сечения h. Запрещается делать подрез, если вблизи опор расположены значительные сосредоточенные грузы. Следует избегать перерезывания крайних волокон балок в зоне наибольших напряжений от изгиба (рис. II—15а).