Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

15.01.2017

Найдем аналитическое выражение напряженности поля над вертикальным стержнем, верхняя граница которого залегает на глубине h, а нижняя уходит в глубину на бесконечность. Диаметр сечения стержня s будем считать малым сравнительно с глубиной h, направление намагничивающего поля — вертикальным. При заданных условиях магнитную массу m можно считать сосредоточенной на вершине стержня, она равна m = σs, где σ — поверхностная плотность магнетизма. Согласно закону Кулона можно написать (рис. 57)
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Угол θ отсчитывается от положительного направления оси х по часовой стрелке.
В прямоугольной системе координат значения Z и H будут
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

при условии, что начало координат совпадает с проекцией вершины стержня на ось х.
Кривые, соответствующие полученным аналитическим выражениям, изображены на рис. 57.
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Пользуясь приведенными формулами, можно написать выражение Z и H над вертикальным стержнем ограниченного распространения в глубину. Для этого надо написать напряженность поля от верхнего и нижнего полюсов стержня, т. е. в формулу (40,1) подставить вместо h глубину верхнего полюса h1 и нижнего — h2, а затем написать их разность.
Исследуя выражения (40,1), устанавливаем, что кривая Z имеет максимум в точке х = 0, кривая H имеет экстремальные значения в точках хo = 0,7h, где значения ординат достигают приблизительно
0,4Zmax. Если наблюдаемое аномальное поле похоже на поле над стержнем, то легко вычислить неизвестные величины h и m. Для любой точки Xi можно найти значение о, равное отношению Zi к Zmax:
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Зная h, найдем m = Js. Если J известно (например, по разведочным данным на других аномалиях, вызванных теми же причинами), то можно приближенно оценить s.
При наличии кривой H глубина h может быть определена, например, по расстоянию между точками с экстремальными значениями. Если же имеются обе кривые, то положение верхнего полюса легко определяется точкой пересечения направлений полных векторов Ts.
Пользуясь формулами (40,1), легко получим формулы, выражающие напряженность поля Z и H над шаром, намагниченным вертикально. Так как поле шара определяется полем двух магнитных масс разных знаков, сосредоточенных в центральной части шара на бесконечно малом расстоянии по направлению намагничивающего поля, то его можно записать как поле стержня бесконечно малого диаметра с высотою Δh, равной расстоянию между массами. Это означает, что нужно написать поле бесконечно длинного стержня с вершиной на глубине h и вычесть поле такого же стержня с вершиной на глубине h+Δh. Для этой цели можно воспользоваться формулой Тейлора:
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Аналогичная формула справедлива и для поля Н.
Из этой формулы видно, что искомая разность полей определяется как градиент функции Z (х, h) по вертикали. Примем во внимание, что с увеличением глубины функция Z убывает.
Выполняя дифференцирование формул (40,1) по h и замечая, что произведение mΔh = M (магнитному моменту шара), получим
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Кривые Z и H над вертикально намагниченным шаром изображены на рис. 58.
Формулы (40,2) показывают, что кривая Z имеет максимум над центром шара, проходит через нуль в точках x1,2 = ±1,4h, в точках x3,4 = ±2h достигает минимума. Подставляя абсциссы точек максимума и минимума в общее выражение Z, находим Zmin = 0,02Zmax.
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Кривая H имеет экстремальные значения в точках x5,6 = 0,5h, а значение Hв = 0,43Zmax. Глубина залегания центра шара легко может быть определена по любым из перечисленных пар точек, а также по значениям Z или H в других точках. При известной глубине h легко вычисляется магнитный момент шара. Если каким-либо путем можно приблизительно выяснить величину J (как указано выше), то возникает возможность приблизительно оценить объем намагниченного тела.
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

При косом намагничивании шара формулы Z и H примут более сложный вид. Пусть шар намагничен под углом г, направление оси х выбираем так, чтобы вектор намагниченности находился в плоскости xoz. Начало координат выбираем в точке, совпадающей с проекцией центра шара на плоскость наблюдений. Напряженность поля Z от двух полюсных точек, находящихся на расстоянии 21, будет (рис. 59)
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Отбрасывая в процессе преобразований все члены, содержащие вторую и более высокие степени малой величины l, получим
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Для нахождения экстремальных значений Z получим уравнение
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Уравнение имеет три корня, определяющие абсциссы максимума Zmax и двух минимумов Zmin. Помня, что угол I на территории России изменяется в пределах приблизительно от 90 до 60°, можно считать, что абсцисса Zmax всегда остается в несколько раз меньше абсцисс двух минимумов и глубины h. Поэтому для приближенного вычисления абсциссы максимума xmax можно написать
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

По графику Z легко отметить точки, где Z = Zmax, и x1 и x2, где Z = 0. Так как начало координат по асимметричной кривой Z нам не известно, абсолютные значения xm, x1 и x2 с чертежа снять нельзя. Из (40,3) находим значения x1 и х2:
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Снимаем с чертежа расстояния р от x1 до xm и q от xm до x2:
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Подставляя сюда значения х1 и х2 и значение хm, выраженные через р и q, получим
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара

Магнитное поле над косонамагниченным шаром в плане изображено на рис. 60. Формула (40,6) применима к кривой, построенной по линии, проходящей через максимум и минимум аномалии. Наиболее простой способ вычисления глубины будет для широтного профиля с симметричной кривой Z.
Магнитное поле тел в форме вертикального стержня и шара