Магнитное поле пласта малой мощности

15.01.2017

Понятие «малая мощность» употребляется сравнительно с глубиной залегания и, следовательно, не определяет реальной мощности. Применительно к магниторазведочным работам это означает, что мощность тела выражается первыми десятыми долями глубины залегания верхней кромки пласта.
Рассмотрим сначала случай вертикальной намагниченности и вертикального падения при бесконечно большом распространении в глубину (практически глубина верхней кромки несколько сотых долей глубины нижней кромки, когда влияние последней на величину аномалии в области больших значений меньше 10%). Рассматриваемый случай иногда называют случаем «однонитной аномалии», т. е. аномалии, созданной одной нитью полюсов.
Магнитное поле пласта малой мощности

На рис. 61 пласт изображен в пространственной системе координат с осью у, параллельной простиранию. Вырежем в пласте столбик с поперечным сечением ds = 2bdy и плотностью магнетизма а. Через 2b обозначена мощность пласта.
В соответствии с формулой (40,1) напряженность поля dZ и dН от элементарного столбика можно написать в виде
Магнитное поле пласта малой мощности

Значения Z и H будут равны интегралам от этих выражений в бесконечных пределах. Заменяя h2+x2 через r2 и пологая у = r tg φ, легко находим
Магнитное поле пласта малой мощности

В данном случае σ = J, так как намагничивающее поле перпендикулярно к верхней поверхности пласта.
Чтобы написать выражения Z и H при косом намагничивании, воспользуемся формулами (39,4).
Подставляя эти значения в (39,2), на основании (39,3) получим
Магнитное поле пласта малой мощности

Jx — проекция вектора J на горизонтальную ось х, перпендикулярную к длинной оси тела. Направление оси х в общем случае определим магнитным азимутом А. Тогда намагничивающим полем по оси х будет H0 сos A, где H0 — горизонтальная составляющая земного поля. Предполагая, что вектор намагниченности геологических образований параллелен вектору намагничивающего поля T (хотя это и не всегда подтверждается на практике), а составляющие вектора намагниченности пропорциональны составляющим вектора Т, найдем
Магнитное поле пласта малой мощности

В формуле (39,1) угол α соответствует углу i', угол γ — углу 90° — i. Новые обозначения введены в связи с указанным выше предположением, что вектор J по направлению совпадает или близок к направлению намагничивающего поля Т.
Подставляя эти значения в (41,2) получим
Магнитное поле пласта малой мощности

Формулы (41,4) выражают напряженность поля Z и H при косом намагничивании через выражения Zв и Нв при вертикальном намагничивании для случая, когда намагниченное тело имеет большие размеры по простиранию, а внутреннее размагничивающее поле не вызывает существенного отклонения вектора намагниченности от направления намагничивающего поля.
Таким образом, значения Z и H над вертикально падающим пластом малой мощности при косом намагничивании будут
Магнитное поле пласта малой мощности

Найдем выражения Z и H при косом намагничивании и наклонном падении пласта под углом α (углы i и α отсчитываются от положительного направления оси х; применительно к реальным аномалиям магнитный азимут положительного направления оси х, меняется в пределах от 0 до ±90°). На рис. 62 изображен разрез пласта, падающего под углом α.
В системе координат, повернутой на угол против часовой стрелки —(90 — α), т. е. когда ось x' перпендикулярна к вертикальному сечению пласта, значения Z' и Н' при косом намагничивании будут
Магнитное поле пласта малой мощности

Составляющие Z и H в начальной системе координат равны
Магнитное поле пласта малой мощности

Подставляя значения (41,6) в (41,7), получим
Магнитное поле пласта малой мощности

где φ — угол между осью х и проекцией вектора J на плоскость xoz.
После простых преобразований получим
Магнитное поле пласта малой мощности

где v = α—φ.
Магнитное поле пласта малой мощности

При широтном простирании (А = 0°) i' = i = φ, при меридиональном (А = 90°) i' = φ = 90°, т. е. в первом случае намагниченность совпадает с направлением намагничивающего поля (в соответствии с высказанными выше допущениями), а во втором — намагниченность вертикальная.
Таким образом, общее выражение Z и H над телом рассматриваемой формы при любом угле падения и угле наклонения будет иметь вид
Магнитное поле пласта малой мощности

Входящий в формулы (41,9) множитель √sin2 i + cos2 i' не может быть больше единицы, а минимальное его значение для территории России около 0,9. Он не имеет никакого значения для вычисления элементов залегания намагниченных тел, так как для каждого конкретного случая является величиной постоянной; по этим причинам в формулах (41,10) он опущен, не будем его писать и в последующих формулах. Его нужно принимать во внимание только при вычислении намагниченности пород в случаях, когда простирание последних приближается к меридиональному.
Выражения Z и H в полярной системе координат (х = r sin θ, h = r cos θ) будут иметь вид
Магнитное поле пласта малой мощности

Если нижняя граница пласта оказывает заметное влияние на напряженность магнитного поля, т. е. глубина ее залегания не очень велика сравнительно с глубиной верхней кромки, выражение Z будет иметь вид
Магнитное поле пласта малой мощности

Здесь h1 и h2 — глубины, верхней и нижней кромок, а — расстояние по оси х между проекциями верхней и нижней кромок на ось х, начало координат — в точке, совпадающей с проекцией верхней кромки разреза на линию наблюдений. Легко написать аналогичное выражение Н.
Если наблюдаемую магнитную аномалию по общему виду аномального поля можно считать вызванной телом пластовой формы с относительно малой мощностью, то, пользуясь аналитическими выражениями Z и Н, можно найти простые приемы вычисления глубины h, угла v и произведения J2b. При симметричной кривой Z угол v = 0, т. е. α = φ, или, иначе говоря, тело намагничено по падению. В случае, когда 0, при бесконечно большом распространении тела в глубину и относительно малой мощности 2b≪h, раздельное вычисление углов α и φ невозможно. Угол φ определяется из условия ctgφ = ctg i cos А, т. е. на основе предположения, что вектор намагниченности параллелен проекции вектора земного поля на плоскость, перпендикулярную к простиранию пласта. На основе этого предположения определяется угол α.
Как указано ранее, при косом намагничивании сильно магнитных пород (и выражается десятыми долями единицы) вектор намагниченности отклоняется в сторону большей оси сечения тела, следовательно, указанное предположение будет ошибочным. Кроме того, известно много случаев отклонения вектора остаточной намагниченности горных пород от направления вектора современного магнитного поля, что также может привести к ошибочным выводам об угле падения тела. Рассматриваемые аналитические выражения Z и H не могут быть использованы для более надежного решения задачи об угле падения. Если породы, создающие магнитную аномалию, обладают избыточной плотностью, то на основе гравитационных измерений может быть вычислен угол падения пласта; тогда по магнитным данным определяется направление вектора намагниченности.
Рассмотрим несколько способов вычисления элементов залегания пласта и намагниченности.
1. Найдем точки X1 и х2, соответствующие максимуму и минимуму Z.
Приравнивая первую производную от выражения Z по х нулю, получим
Магнитное поле пласта малой мощности

Подставляя эти значения в общее выражение Z, найдем
Магнитное поле пласта малой мощности

где Z (0) означает Z в начале координат. Равенство (41,14) показывает, что начало координат (проекция вершины пласта на ось х) находится в точке, где Z равняется алгебраической сумме экстремальных значений Z. Таких точек на кривой Z две. Начало координат находится между экстремальными значениями, что вытекает из следующих рассуждений: по мере уменьшения угла v кривая Z приближается к симметричной, абсцисса x1 приближается к нулю со стороны отрицательных значений х, а абсцисса x2 стремится к бесконечности в сторону положительных значений х, следовательно, начало координат не может выйти из интервала между x1 и x2.
Из выражений (41,13) легко находим
Магнитное поле пласта малой мощности

Знак угла v будет положительным, когда Zmin расположен в области положительных значений х, в противоположном случае знак v будет отрицательным (рис. 63).
Магнитное поле пласта малой мощности

Найдем точки x3 и x4, где Z = 0,5 Z (0), из уравнения
Магнитное поле пласта малой мощности

Решая уравнение, найдем
Магнитное поле пласта малой мощности

При симметричной кривой, когда v = 0, получим широко распространенную формулу для приближенной оценки глубины залегания тел пластовой формы малой мощности: глубина h равна половине расстояния между абсциссами, где Z равняется половине максимума.
2. Пользуясь значениями x1, x2, x3 и x4, находим
Магнитное поле пласта малой мощности

т. е. глубина h является средней геометрической между указанными парами отрезков оси х. Строим полуокружности на отрезках x1x2 и x3x4. Точка их пересечения определит положение вершины пласта. На рис. 63 показан этот способ решения при угле v = 35°. Если φ = 70°, то α = 105°, иначе говоря, падение пласта южное под углом 75°.
Таким же свойством обладают абсциссы экстремальных значений Н, абсциссы точек, где кривые H и Z равны нулю, и некоторые другие.
3. Пользуясь формулой (41,13), находим что произведение hZmax для заданного пласта есть величина постоянная. Имея значение Zmax на одном уровне и измеряя или вычисляя его значение на другом уровне, отличном от первого на высоту Δh, получим Z1h = Z2 (h + Δh), откуда
Магнитное поле пласта малой мощности

4. Для вычисления h можно использовать площадь Q, ограниченную кривой Z и осью х,
Магнитное поле пласта малой мощности

Пользуясь формулой (41,14), находим
Магнитное поле пласта малой мощности

Этот способ может дать хорошие результаты, если нормальное поле выбрано правильно и для подсчета площади используется кривая Z до выхода в нормальное поле.
5. В первых работах по применению магнитного метода к поискам магнетитовых руд наиболее распространенным способом определения глубины верхней кромки пластовых залежей был способ построения полных векторов Ta. В случае симметричной кривой Z над пластом малой мощности по направлению полных векторов определяется точка пересечения, совпадающая с местоположением «нити полюсов» в вертикальном разрезе. Способ очень хорош тем, что он позволяет использовать все точки наблюдений и убедительно доказывает правильность или ошибочность представления о форме тела. Ho над пластами рассматриваемой формы кривые Z имеют симметричную форму только в случае v = 0; во всех других случаях кривая Z асимметрична, следовательно, продолжения полных векторов не будут пересекаться в одной точке. Выясним, как использовать полные векторы в этом случае.
Из выражений Z и H в полярной системе координат (41,11) следует
Магнитное поле пласта малой мощности

Когда v = 0, направление полных векторов совпадает с направлением радиуса-вектора г, определяемого углом θ. Если v ≠ 0, то все полные векторы отклоняются от направления r на постоянный угол v; следовательно, чтобы найти положение вершины пласта, нужно все полные векторы повернуть на угол v. Для нахождения этого угла воспользуемся следующим способом.
Используем точки х5 и х6, где Z = \Н\ (рис. 64). Составляя соответствующие уравнения, получим
Магнитное поле пласта малой мощности

откуда следует, что вершина пласта лежит на окружности, диаметром которой является отрезок, заключенный между точками x5 и x6. Полные векторы T1 и T2, построенные в точках х5 и х6, пересекутся на окружности под углом 90° в точке а, а вектор T3, построенный в центре окружности, пересечет последнюю в точке b. Отложим на окружности дугу bс = ab, тогда точка с будет искомой вершиной пласта, а угол bс — углом v. Действительно, соединяя точки х5, x6 и центр окружности с точкой с, убеждаемся, что новые направления линий, проходящих через точку с, отличаются от направлений трех векторов на один и тот же угол, измеряемый половиною дуги ас.
Магнитное поле пласта малой мощности

Чтобы убедиться в правильности предположения о форме тела, нельзя ограничиться построением только трех векторов. После нахождения угла v необходимо построить еще несколько полных векторов в ряде точек и убедиться, что все они после поворота на угол v пройдут через точку с.
При применении этого способа на практике единая точка пересечения обычно не получается, определяется ограниченная зона точек взаимных пересечений. Размеры этой зоны дают наглядное представление об обоснованности предположения о пластовой форме тела и о точности определения местоположения вершины пласта и угла v.
6. Для суждений о форме тела можно использовать векторную диаграмму, если аномалия является хорошо обособленной. Рассматривая Z и H как координаты точек в прямоугольной системе координат, построим диаграмму для случая v = 0. Чтобы получить уравнение кривой, исключим параметр х из выражений Z и Н. Для этого напишем сумму квадратов Z и H:
Магнитное поле пласта малой мощности

где с = 2J26. Замечая, что c/h = Zmax, после подстановки x2 из выражения Z получим
Магнитное поле пласта малой мощности

Здесь Z и H — текущие координаты кривой, Zmax — постоянная величина, следовательно, выражение (41,19) представляет собой уравнение окружности с центром на оси Z и c радиусом, равным 0,5 Zmax.
Если v ≠ 0, то центр окружности будет на другой оси, наклоненной к оси Z на угол v.
Независимо от того, каким способом вычислены h и v, после их нахождения можно вычислить произведение 2/26. При изложенных способах вычислений эта величина может быть использована для оценки мощности тела только в том случае, если есть основания считать величину J известной, например, на основе имеющихся разведочных данных по таким же аномалиям в той же геологической обстановке.