Магнитное поле горизонтального кругового цилиндра

Магнитное поле кругового цилиндра, лежащего горизонтально, равно полю двух нитей полюсов на бесконечно близком расстоянии одна от другой вдоль центральной линии цилиндра. Пользуясь тем же способом, который применен для нахождения ноля шара, найдем производные от выражений (41,10) по h и помножим их на приращение Δh. Заметим, что произведение 2bJΔh = 2bσΔh равно магнитному моменту M кругового цилиндра единичной длины, вырезанного из данного бесконечно длинного цилиндра перпендикулярно к его простиранию. В результате получим

Множитель в виде квадратного корня опущен.
В полярной системе координат (х = r sin θ, h = r cos θ) выражения Z и H будут

Здесь, как и раньше, v = α—φ, φ определяется из условия ctg i cos A = ctg φ.
Угол α определяет падение тела. По отношению к круговому цилиндру нельзя говорить об угле падения, так как в сечении получается круг; в этом случае угол α следует считать равным 90°. Ho применительно к реальным телам, сложные формы которых аппроксимируются круговым цилиндром, представление о падении следует сохранить. Это необходимо, например, в тех случаях, когда намагниченное тело имеет форму линзы с эллиптическим сечением, а глубина ее такова, что поле эллиптического цилиндра можно рассматривать, как поле кругового цилиндра и, следовательно, для вычисления элементов залегания использовать формулы, вытекающие из аналитических выражений (42, 1).
В случае, когда круговой цилиндр намагничен вертикально, формулы (42,1) принимают простой вид, соответствующий случаю v = 0.
Кривые Z и H над круговым цилиндром изображены на рис. 65.
Если наблюдаемое аномальное поле похоже на поле над круговым цилиндром, то различными способами можно вычислить глубину залегания центра сечения h, угол v и магнитный момент сечения M = Js, где s — площадь поперечного сечения.
Укажем некоторые из возможных способов.
1. Найдем площадь, ограниченную положительной частью кривой Z и осью х. Полагая Z = 0, найдем абсциссы точек

которые будут пределами интегрирования. Выполняя интегрирование и подставляя пределы, получим

Найдем абсциссу х3, соответствующую Zmax. Приравнивая нулю первую производную от выражения Z по х, получим

Если предполагать, что вектор намагниченности совпадает с вектором земного магнитного поля, то на территории России угол v для кругового цилиндра будет не более 30°. При таком угле экстремальные значения Z (один максимум и два минимума) сместятся от того положения, которое они занимали бы при вертикальном намагничивании, но величина x3 останется значительно меньше абсцисс двух минимумов и глубины h.
Подставим в уравнение (42,5) значение х3 и разделим его почленно на h3. Пренебрегая второй и третьей степенями правильной дроби x3/h, получим

Подставляя это значение в выражение Z, получим

Из (42,4) и (42,6) получаем

При v = 0 величина f(v) = 1, при v = 30°, как легко вычислить после подстановки в выражение Zmax, f(v) = 0,96. Следовательно, в широких пределах можно пользоваться формулой

2. Из формулы (42,4) следует

На основе этого можно вычислить h по кривым Z на двух уровнях, отличных на высоту Δh. Обозначая площадь на нижнем уровне через Q1, а на верхнем — через Q2, получим

3. Из формулы (42,6) вытекает

Обозначая Zmax на нижнем уровне через Z1, а на верхнем — через Z2, получим

4. Начало координат, совпадающее с проекцией центра сечения цилиндра на ось х, можно найти по формуле

которая получена следующим путем. На основании выражений (42,3) находим

Значение Z в начале координат

Заменяя h его значением (42,12), получим формулу (42,11). Для нахождения начала координат нужно найти ординату, равную удвоенной площади Q, деленной на расстояние между нулевыми значениями Z. Таких ординат две. Имея в виду, что при i = 90° (v = 0) максимум Z помещается в начале координат, а с уменьшением i смещается в сторону отрицательных значений х (см. формулу, определяющую х3), нужно искать абсциссу вычисленного значения Z в положительном направлении от Zmax. Чтобы исключить возможную ошибку от неправильного выбора направления оси х (север со стороны отрицательных значений х), следует контролировать выбор одной из двух абсцисс правилом: нужная абсцисса расположена между максимумом и более глубоким минимумом Z.
Когда найдено начало координат, легко определить по чертежу отрезки X1 и X2 по оси х. На основании (42,3)

откуда определяется h. Угол v находим по формуле (42,12). Зная h и v, из аналитического выражения Z (0) вычисляем М.
Если по другим таким же аномалиям (или по вскрытым породам или рудам на данной аномалии) известно J, то можно приближенно определить площадь сечения s, так как M = Js.
В случае вертикального намагничивания кругового цилиндра (ft = 0) кривая симметрична, глубина центра h = 0,5 (x1—x2), Q = hZmax. Из этих формул следует, что площадь Q равновелика площади треугольника, построенного на отрезке x1x2 как на основании, с высотой, равной Zmax. В общем же случае (v ≠ 0) площадь Q равновелика площади треугольника с основанием x1x2 и высотой, равной Z (0). Такие построения полезны для предварительного выяснения, можно ли данную кривую Z считать кривой над круговым цилиндром.
5. Для нахождения h и v можно использовать полные векторы Та. Этот способ хорош тем, что он наглядно убеждает в правильности или ошибочности предположения о наличии тела в форме кругового цилиндра и указывает на величину погрешности вычисленного значения h.
Из выражений (42,2) получаем

По этой формуле в ряде точек по оси х можно провести прямые, идущие под углом η по отношению к вертикальной линии. Для этого нужно построить полные векторы T и образованные ими углы с вертикальной линией разделить пополам. Когда v = 0, биссектрисы пересекутся в цептре кругового цилиндра. Если v ≠ 0, то все биссектрисы повернутся от направлений r на постоянный угол 0,5ft.
Чтобы найти этот угол, построим на отрезке x1x2 как на диаметре полуокружность. Из (42,13) следует, что центр сечения кругового цилиндра лежит на этой окружности. Построим полный вектор в центре окружности. Он пересечет окружность в точке с, которая и будет искомым центром сечения.
Для доказательства построим три биссектрисы: в точках х1, х2 и центре окружности. Первые две пересекутся на окружности в точке а, третья пересечет окружность в точке b (рис. 66). Соединив точки х1 и х2 с точкой с, легко убеждаемся, что все три новые направления определяются поворотом трех биссектрис на один и тот жe угол, измеряемый половиною дуги ас. Затем строим биссектрисы углов еще в ряде точек и поворачиваем их на этот же угол. Если кривые Z и H соответствуют полю над круговым цилиндром, то все повернутые биссектрисы пройдут через точку с. На практике определяется ограниченная область взаимных пересечений, радиус которой может служить мерой точности решения задачи.
6. Можно использовать еще один несложный прием вычисления h. Из формулы Z (42,1) следует, что при изменении знака абсциссы х меняется знак второго слагаемого в числителе:

На основании этого получим

Последнее равенство означает, что из асимметричной кривой над круговым цилиндром можно выделить симметричную часть построением новой кривой по полусумме ординат Z, равноотстоящих от начала координат. По этой кривой глубина h определяется как половина расстояния между точками, где Z = 0.
Для построения симметричной кривой нужно найти начало координат. Для этого можно воспользоваться или способом, указанным выше, или же построить кривую полного вектора T

Кривая T не зависит от угла v, над круговым цилиндром она всегда симметрична с максимумом в начале координат.
Имея кривую Т, можно определить глубину h как половину расстояния между точками, где T = 0,5 Tmax. Для доказательства достаточно написать соответствующее уравнение и найти значение х3: