Магнитное поле пласта большой мощности

15.01.2017

Зная аналитическое выражение поля пласта малой мощности, легко решить задачу о напряженности поля пласта большой мощности, т. е. когда мощность сравнима с глубиной залегания или превосходит последнюю. На рис. 67 и 68 изображены разрез пласта и кривые Z и H над пластом в плоскости, перпендикулярной к простиранию. Начало координат примем в точке, являющейся проекцией середины верхней кромки. На расстоянии r от начала координат вырежем пласт мощностью dr с тем же углом падения. Напряженность поля dZ от элементарного пласта по формулам (41,10) будет
Магнитное поле пласта большой мощности
Магнитное поле пласта большой мощности

Если видимую мощность пласта считать равной 2b, то напряженность поля Z от всего пласта будет интегралом по dr в пределах от -b до +b. Ho при интегрировании нужно иметь в виду, что при неизменной видимой мощности истинная мощность пласта уменьшается пропорционально величине sina. Соответственно уменьшается магнитный момент как всего пласта, так и вырезанного пласта мощностью dr. Поэтому в общем случае в результат интегрирования войдет множитель sin a.
Интегрируя выражение (43,1) почленно, получаем
Магнитное поле пласта большой мощности

Подставляя пределы, получим
Магнитное поле пласта большой мощности

Таким же путем получим выражение H
Магнитное поле пласта большой мощности

При намагничивании пласта по падению, когда v = 0, формула принимает простой вид:
Магнитное поле пласта большой мощности

Ha чертеже видно, что arctg x+b/h = θ1, arctg x-b/h = θ2, a разность их равна углу видимости верхней кромки пласта. При бесконечных пределах интегрирования или в случае, когда точка наблюдения лежит в плоскости, совпадающей с верхней поверхностью пласта, напряженность поля Z равна
Магнитное поле пласта большой мощности

Если наблюдаемая кривая Z похожа на кривую над пластом большого распространения в глубину, намагниченным по падению (v = 0), то по аналитическому выражению (43,4) можно найти простой способ вычисления h и b. Составим уравнения Z = 0,5 Zmax и Z = 0,25 Zmax. Обозначая абсциссы соответствующих точек x1 и x2, получим
Магнитное поле пласта большой мощности

Применяя известные формулы преобразования
Магнитное поле пласта большой мощности

Если v ≠ 0 то непосредственно из выражения (43,2) не удается найти способа вычисления входящих в него параметров. Применяется следующий прием. При изменении знака абсциссы х в выражении (43,3) изменяется знак второго члена. На основании этого можно написать
Магнитное поле пласта большой мощности

Полусуммы и полуразности ординат определяются в точках, равноотстоящих от начала координат. Для нахождения последнего применяется способ, описанный выше для пласта малой мощности, а именно по равенству Z (0) = Zmax + Zmin. Это равенство справедливо и для рассматриваемой формы тела, но из-за громоздкости вычислений здесь не доказывается.
К симметричной части кривой применяются формулы (43,5) для вычисления h и b. Для вычисления ft нужно взять отношение равенств (43,6) в любой точке. Для точки, где кривые (43,6) пересекаются, получим
Магнитное поле пласта большой мощности

Значение J вычисляем по значению Z первоначальной кривой, например в точке х = 0, путем подстановки найденных значений b, h и ft.
Легко написать выражения Z и H над пластом ограниченного распространения в глубину. Очевидно, что они будут представлять собой разности выражений Z (или Н) над двумя пластами бесконечно большого распространения на глубину; один из этих пластов имеет верхнюю кромку, совпадающую с заданной, а другой — совпадающую с нижней кромкой заданного пласта.
Если вертикальная мощность пласта очень мала сравнительно с глубиной залегания и горизонтальной мощностью 26, то получим горизонтально залегающий пласт. Чтобы написать аналитическое выражение напряженности поля по линии, идущей перпендикулярно к простиранию, достаточно взять производную от (43,3) по h с обратным знаком и помножить на Δh. Появляющееся в этом случае произведение J2bΔh равно магнитному моменту сечения пласта. Выражение Z будет
Магнитное поле пласта большой мощности

Если положить v = 0, то легко доказать, что при b > h√3 кривая Z имеет два максимума и три минимума, как это показано на рис. 69. При обратном соотношении между b и h кривая Z имеет один пологий максимум и два минимума.
Магнитное поле пласта большой мощности

При вертикальной намагниченности (или близкой к ней) в данном случае поле Z может быть выражено через разность углов видимости верхней и нижней поверхностей пласта (в разрезе по оси х)
Магнитное поле пласта большой мощности

Аналитические выражения напряженности поля над пластом ограниченного распространения в глубину при v ≠ 0 настолько сложны, что не удалось найти формулы для вычисления большого количества неизвестных. В этих случаях применяются другие приемы, рассматриваемые в общем виде дальше.
Для выражения (43,7) при v = 0 найдены формулы для вычисления h и b, но вследствие их громоздкости лучше использовать другие возможности, также рассматриваемые дальше.
В практике вычислений глубины залегания верхней кромки тел, которые приближенно можно представить в форме пластов большого распространения на глубину, часто пользуются формулой, названной «интегральной»
Магнитное поле пласта большой мощности

Существенной особенностью этой формулы является не присутствие в ней интеграла, а использование напряженности поля в удаленных точках, когда х ≫ h и х ≫ b. По формуле (43,4) напряженность поля Z в таких точках приближенно можно записать в виде
Магнитное поле пласта большой мощности

т. е. произведение Zx2 по мере увеличения х стремится к пределу, величина которого находится экспериментально по заданной кривой. Входящее в это выражение произведение 2J2b можно найти из выражения
Магнитное поле пласта большой мощности

на основе чего получим формулу (43,8). Она справедлива при условиях: а) когда глубина нижней границы пласта во много раз больше глубины верхней кромки и мощности тела; б) при намагниченности тела по падению. Так как одновременное выполнение этих условий встречается редко, то для применения описанного способа строится осредненная кривая по правой и левой ветвям кривой (относительно максимума); если осредненная кривая переходит в область отрицательных значений на небольшом удалении от выбранного центра симметрии, то нулевая линия опускается. Достаточно убедительных оснований для таких операций нет.