Магнитное поле эллипсоидов вращения и эллиптических цилиндров

15.01.2017

Вычислить напряженность поля над телами, ограниченными криволинейными поверхностями, опираясь на рассмотренные в предыдущих параграфах формулы, нельзя, приходится обращаться к аналитическому выражению гравитационного потенциала. Если выражение последнего над телом, ограниченным криволинейной поверхностью, найдено, то на основе известной связи между аналитическими выражениями гравитационного и магнитного потенциалов можно написать выражение напряженности магнитного поля.
Магнитное поле эллипсоидов вращения и эллиптических цилиндров

Исследуя аналитическое выражение поля эллипсоидов вращения, И.М. Бахурин установил, что магнитное поле софокусных эллипсоидов вращения пропорционально их магнитным моментам. Им составлена единая диаграмма, на основе которой можно построить кривые Z и H над любым сжатым эллипсоидом вращения. Эта диаграмма изображена на рис. 72. За единицу длины принята половина фокусного расстояния q, в этих единицах даны координаты точек в вертикальной плоскости, проходящей через центр эллипсоида. На чертеже изображен разрез эллипсоида вращения с отношением осей с:а = 10, намагниченность его предполагается вертикальной, магнитная восприимчивость х = 1, намагничивающее поле T = 0,5 э. Коэффициент размагничивания для рассматриваемой формы N = 10,8. На чертеже изображены линии равных значений Z и Н в миллиэрстедах. Чтобы вычертить кривую Z (или Н), нужно выбрать уровень, соответствующий глубине залегания центра сечения в единицах q, и по нанесенным изолиниям снять соответствующие значения.
Чтобы найти напряженность поля над эллипсоидом с другим соотношением осей и другой намагниченностью, надо найти отношение магнитпых моментов M1:М, где M1 — момент заданного, a M — момент изображенного на чертеже эллипсоида вращения. Снятые с чертежа значения нужно умножить на это отношение.
Пусть нам задан эллипсоид с отношением осей c1:а1 = 5, намагничивающее поле T = 0,6, х = 0,5, Jr:Ji = 1. При указанном соотношении осей N = 9,5, тогда
Магнитное поле эллипсоидов вращения и эллиптических цилиндров

Из уравнений с1в2 — а1в2 = 1, с2 — а2 = 1, с1:а1 = 5, с:а = 10, находим а1 = 0,204, с1в2 = 1,04, а = 0,101, с2 = 1,01.
Тогда
Магнитное поле эллипсоидов вращения и эллиптических цилиндров

Магнитные поля эллиптических цилиндров И.М. Бахурин также представил в виде диаграммы (кроме формул и таблиц), пользуясь которой можно вычислить напряженность поля над любым эллиптическим цилиндром путем умножения табличных данных на отношение магнитных моментов софокусных цилиндров.
На рис. 73 изображены кривые Z и H над эллиптическим цилиндром с соотношением осей с:а = 10, T = 0,5 э, х = 1. За единицу длины также принята половина фокусного расстояния.
Вычислим переводный множитель для других условий: с1:а1 = 5, х = 0,5, Jr:Ji = 1. Коэффициенты размагничивания для цилиндров будут: для изображенного на чертеже N = 4π 1/11, а для заданного N = 4π 1/6.
Магнитное поле эллипсоидов вращения и эллиптических цилиндров

На рис. 74 изображена диаграмма полей Z и H горизонтально лежащего косо намагниченного эллиптического цилиндра. Вектор J не совпадает с вектором намагничивающего поля, он отклоняется в сторону большей оси сечения. Для вычисления напряженности поля при других заданных величинах кроме отношения магнитных моментов надо найти угол расхождения между векторами T и J и снимать значения Z и H в новой системе координат, повернутой относительно заданной на угол, равный разности между старым и новым направлением J при неизменном направлении Т.
Магнитное поле эллипсоидов вращения и эллиптических цилиндров

Аналитические выражения Z и H не приводятся ввиду их сложности, исключающей возможность нахождения простых формул для вычисления глубины и элементов залегания намагниченного тела. Диаграммы же приводятся для общего ознакомления с кривыми Z и H над телами рассмотренной формы. Развитие теории гравитационного и магнитного полей над телами, ограниченными кривыми второго порядка, можно найти, например, в Известиях Днепропетровского горного института, т. 22, 1952, и др.