Вычисление напряженности поля над горизонтально лежащими цилиндрическими телами

15.01.2017

При вычислении напряженности магнитного поля над горизонтально лежащим цилиндром любой формы в сечении, перпендикулярном к простиранию, заданный цилиндр можно рассматривать как множество круговых цилиндров бесконечно малого диаметра, сплошь заполняющих данную форму. На основании этого Д.С. Миковым была построена палетка для графического вычисления Z и H.
Напряженность поля элементарного кругового цилиндра известна. Предполагая намагничивание вертикальным, получим значения Z и H в полярной системе координат от каждого элементарного цилиндра (рис. 75):
Вычисление напряженности поля над горизонтально лежащими цилиндрическими телами

Ho dM = Jds, где ds — площадь сечения элементарного цилиндра. Разобьем все сечение заданного цилиндра на малые площадки радиусами-векторами, направленными из начала координат (совпадающего с точкой Р, где вычисляется напряженность поля), и концентрическими окружностями переменного радиуса r с центром в точке Р. Поле каждой призмы ввиду малых размеров ее сечения можем рассматривать как поле кругового цилиндра. Площадь сечения такой призмы будет ds = rdrdθ, а магнитное поле в точке P от каждой призмы будет
Вычисление напряженности поля над горизонтально лежащими цилиндрическими телами

Подберем пределы интегрирования так, чтобы любая площадка создавала в точке P одну и ту же напряженность поля, например равную 1γ = 1*10в-5 э. Интегрируя выражения (46,2), получим
Вычисление напряженности поля над горизонтально лежащими цилиндрическими телами

Величину J будем считать постоянной, условно положим ее равной J = 5*10в-4 СГС. Положим разности синусов и косинусов равными 0,2, тогда In rm+1/rm = 0,1, a rm+1/rm = 1,105. Полагая r1 = 1, определим все последующие радиусы как члены геометрической прогрессии с коэффициентом 1,105. Чтобы найти значения углов 0, полагаем sin 2θ1 = 0,2, откуда θ1 = 6°; sin 2θ2 = 0,4, откуда θ2 = 12°. Продолжая вычисления, получим следующие значения θ:18,5; 27; 45°. Последующие значения угла получим, полагая sin 2θ6 — sin 2θ5 = -0,2, т. е. будем считать, что площадки за пределами ±45° создают отрицательные значения Z. Значения углов будут 63; 71,5; 78; 84 и 90°. Пользуясь этими данными, строим сетку. Чтобы вычислить Z, совмещаем начало координат сетки с точкой Р, в которой вычисляется значение Z, ось х сетки совмещаем с горизонтальной линией, проходящей через точку Р. Подсчитываем число площадок внутри заданного сечения цилиндра, причем в секторе от -45 до +45° считаем их со знаком плюс, а за пределами этого сектора — со знаком минус. Полученное число умножаем на отношение между действительно заданной намагниченностью и принятой для номограммы (J = 5*10в-4 СГС).
Вычисление напряженности поля над горизонтально лежащими цилиндрическими телами

Чтобы вычислить Н, нужно построить палетку, отличающуюся от первой тем, что от вертикальной оси надо откладывать углы, удовлетворяющие требованию, чтобы разность косинусов равнялась 0,2. Нет необходимости строить новую номограмму. Можно использовать уже построенную, повернув ее на 45°. На рис. 76 изображена сетка, у которой ось z для вычисления Z отклонена вправо от вертикали, а ось z для вычисления H — влево. При пользовании соответствующая ось должна быть направлена вертикально.
В общем случае Z = 2Мr-2 cos (2θ + ψ), где ψ — угол отклонения вектора намагниченности от вертикали, т. е. дополнение до угла наклонения вектора J в плоскости сечения цилиндра. Чтобы использовать описанную выше сетку для этого случая, надо ось z палетки направить не по вертикали, а в каждой точке P поворачивать от вертикали против часовой стрелки на угол, равный 0,5ψ. Указанное направление поворота справедливо лишь при ранее обусловленном выборе направления координатных осей, т. е. когда вектор намагниченности направлен вниз с отклонением в сторону положительного направления оси х.
Вычисление напряженности поля над горизонтально лежащими цилиндрическими телами

Можно построить палетку для вычисления напряженности поля над вертикальными цилиндрическими телами, распространяющимися на большую глубину. Палетка может быть построена на основе известной формулы, устанавливающей пропорциональность между напряженностью поля Z и телесным углом видимости верхней поверхности вертикально падающего цилиндра. Принимая глубину залегания верхней кромки за условную единицу, можно всю горизонтальную поверхность, в плоскости которой лежит верхняя кромка цилиндрического тела, разбить на площадки равного действия концентрическими окружностями и радиусами-векторами. Тогда напряженность поля Z будет пропорциональна количеству площадок, попадающих внутрь контура, который определяет верхнюю кромку цилиндра, изображенного в масштабе глубины h. Если цилиндр имеет ограниченное распространение в глубину, то таким же способом можно определить поле Z от нижней поверхности тела и полученный результат вычесть из первого.