Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

15.01.2017

В некоторых случаях известное распределение поля H на плоскости измерений упрощает решение задачи о геологических причинах наблюдаемой магнитной аномалии, в частности при вычислении глубины и элементов залегания намагниченных тел. По указанным выше причинам измеряются обычно только поле Z на поверхности земли и поле ΔT в воздухе с самолета. Напряженность поля Н может быть вычислена, если известно распределение поля Z.
Рассмотрим сначала более простой случай, когда аномалия очень сильно вытянута и в центральной ее части поле Z на ряде параллельных маршрутов, проложенных перпендикулярно к простиранию оси аномалии, наблюдается неизменным.
Для вывода формулы предположим, что наблюдаемое магнитное поле Z создано не реальными геологическими образованиями, а фиктивными магнитными массами, распределенными на плоскости наблюдений, причем плотность их по рассматриваемой оси х, перпендикулярной к простиранию, переменна и на каждом отдельном бесконечно малом отрезке равна σi. Из предыдущего известно, что если магнитные массы предполагаются сосредоточенными только на верхней поверхности тела, то это соответствует наличию пластообразного тела, вертикально распространяющегося на бесконечно большую глубину и намагниченного по падению. Следовательно, представление о наличии магнитных масс на поверхности наблюдений с плотностью σi равносильно представлению о том, что наблюдаемая магнитная аномалия вызвана не реальными геологическими образованиями, а вертикально расположенными пластами малой мощности, сплошь заполняющими нижнее полупространство.
Известная на каждом отрезке Δx напряженность поля Zi выражается формулой Zi = 2πσi, так как линия х лежит в плоскости наблюдений и, следовательно, угол видимости поверхности пласта Δx из точки наблюдений равен π. Отсюда следует, что фиктивная плотность магнетизма на каждом отрезке Ax выражается формулой σi = Zi/2π.
На основе этого представления и известной формулы, определяющей H над пластом малой мощности (41,1), можно написать значение dH в точке P от одного из элементарных пластов. Начало координат выберем в точке Р, мощность пласта положим равной dx, расстояние от точки P до элемента dx будет х. Таким образом, получим
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Знак dH изменен вследствие переноса начала координат в точку Р.
Полная напряженность поля от всех фиктивных масс, непрерывно распределенных по оси х, будет интегралом от выражения (47,1) в бесконечных пределах. Подставляя значение σi и полагая h = 0, получим
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Так как при х = 0 подынтегральная функция становится равной бесконечности, вычисление интеграла произведем следующим образом:
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Рассмотрим первый интеграл. В малом интервале между Δx и -Δx значение Z можно представить в виде ряда
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

где Z0 — значение Z в точке х = 0. Тогда интеграл примет выражение
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

т. е. первый интеграл равен приращению ΔZ в интервале от — Δx до +Δx.
Для нахождения двух других интегралов замечаем, что
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Отложим по оси x вправо и влево от начала координат малые отрезки Δx, принятые за единицу, а затем отрезки хm так, чтобы выражение (47,4) было постоянным, равным с. В пределах малых отрезков хm+1 — хm значение Z можно считать постоянным, равным среднему значению. Тогда
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Знаки у подстрочных индексов означают, что первая сумма охватывает все значения Zi справа от точки Р, а вторая сумма — все значения слева.
Выберем величину с так, чтобы коэффициент перед знаком 2 равнялся 0,1, т. е. с = 0,1π = 0,314. Тогда
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Полученный результат показывает, что расстояния хi от начала координат возрастают в геометрической прогрессии, первый член которой равен Δx, а коэффициент q = 1,368.
Для построения палетки используем прозрачную бумагу. Начальное расстояние выбираем в зависимости от градиента кривой Z. Можно построить палетку для Δx = 5 мм (рис. 77). Для определения ΔZ и средних значений Zi на палетке наносятся не только вертикальные, но и горизонтальные линии, интервалы между которыми и количество которых определяются масштабом и амплитудой кривых Z. Длина рабочей палетки должна быть не менее 50 см. Если кривая Z, по которой вычисляется поле Н, не выходит на своих концах в нормальное поле, она графически экстраполируется до Z = 0.
Точность вычисления кривой H зависит от выбранных интервалов приближенного интегрирования: чем меньше интервалы Δх, тем выше точность вычислений кривой. Для уменьшения интервалов нужно уменьшить значения с, например, вдвое, тогда коэффициент q будет меньше.
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Решение трехмерной задачи принципиально отличается тем, что наблюдаемая на горизонтальной плоскости аномалия предполагается вызванной вертикальными стержнями, заполняющими все нижнее полупространство; верхние кромки этих стержней образуют поверхность наблюдения. В этом случае на каждой малой площадке ds плотность магнетизма σi определяется той же формулой, т. е. σi = Z/2π.
Горизонтальная составляющая, создаваемая однополюсной аномалией (иначе говоря, вертикальным стержнем, распространяющимся на большую глубину, намагниченным по падению), в точке Р, принятой за начало координат, выражается формулой (40,1). Подставляя в эту формулу значение σi и полагая h = 0, m = σids, ds = rdrdθ, получим выражение dH от любого элементарного стержня, расположенного за пределами круга радиуса r = 1 с центром в начале координат:
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Разложим dH на составляющие по осям прямоугольной системы координат, в которой ось х направлена на север, ось у — на восток. Получим
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Разобьем всю плоскость на площадки равного действия, в пределах которых значения Zi будем считать постоянными, равными среднему значению в пределах площадки.
Постоянное значение выбираем по своему усмотрению, например
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Интегрируя, находим
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Полагая разность синусов равной, например, 0,2, находим
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Полное значение Hx будет суммой значений AHx от всех площадок.
Палетку для вычислений Hx строим следующим образом. Проводим радиусы-векторы, начиная от направления оси х, под углами θn, последовательно равными: 0; 11,7; 23,6; 36,9; 53,2; 90; 126,8; 143,1; 156,4; 168,3; 180° и т. д. (в двух других четвертях окружности радиусы-векторы являются продолжением начерченных). Затем проводится окружность радиуса r = 1 (выбирается в зависимости от требований к точности вычисления Н) и ряд концентрических окружностей, радиусы которых возрастают по закону геометрической прогрессии: 1,37; 1,87 и т. д. Каждая площадка будет создавать элементарную напряженность ΔHx = 0,01 Zi.
Значение ΔHx' от фиктивной магнитной массы внутри круга радиуса r = 1 равно
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

Представляя Z в виде ряда Z = Z0 + (∂Z/∂r)0r, получим
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

т. е. значение интеграла в границах окружности единичного радиуса равно сумме приращений ΔZ по всем секторам. Это можно записать в виде
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости

При вычислении Hx в точке P центр палетки совмещается с точкой Р, ось X ориентируется по меридиану; все значения Zi в двух верхних четвертях окружности в соответствии со знаком разности синусов суммируются с сохранением своих знаков, а в двух нижних — с обратными знаками. Положительным направлением для вычисления градиента по секторам считается направление от нижних к верхним четвертям окружности.
Для вычисления Hy, как это следует из формулы, не нужно составлять другую палетку, достаточно имеющуюся повернуть на 90°. Знаки Zi в двух правых четвертях окруяшости сохраняются, в двух левых — меняются на обратные. Положительным для определения градиента считается направление от левых четвертей к правым. По составляющим Hх и Hу находится вектор H и его направление. Палетка изображена на рис. 78.
В литературе опубликованы и другие способы вычисления H по заданному Z.
Вычисление поля Н по заданному распределению поля Z на плоскости