Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

15.01.2017

Для вывода формул используем изложенное в предыдущем параграфе представление о том, что реальная аномалия вызвана фиктивными магнитными массами, распределяемыми с переменной плотностью σi, определяемой в каждой точке формулой σi = Zi/2π.
В случае двухмерной задачи напряженность поля dZ на высоте Δh от элементарного фиктивного пласта мощностью dx с вершиной на линии х определяется углом видимости β по известной формуле Z = 2σβ. Сделаем так, чтобы углы видимости фиктивных пластов из точки P были равными, например, 0,05π. Разумеется, что при этом мощность пластов будет возрастать по мере удаления их от проекции точки P на ось х. Если их мощность настолько велика, что не будет оснований считать среднее значение Z над таким пластом постоянным, можно разбить соответствующий угол на более мелкие, определить значения Z в мелких интервалах и среднее из них использовать в качестве нужной величины. При заданной постоянной величине β значение Z в точке P будет
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

Палетка представляет собой совокупность лучей, проведенных из начала координат через 9° (рис. 79). Там, где отрезки очень велики, можно их разбить дополнительно через 3° или более дробно, через 0°,9.
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

Лучевой палеткой неудобно пользоваться, поэтому рекомендуется заготовить палетку для постоянной величины h, равной, например, 1 см. Горизонтальная линия разбивается на симметричные отрезки, длина которых от начальной точки определяется формулой х = h tg nβ; величина n последовательно изменяется от 0 до π/2β. После совмещения горизонтальной линии с осью абсцисс кривой Z в каждом интервале определяется среднее значение Zi. Большие интервалы полезно разделить на более мелкие части, соответствующие дробному значению β. Для отсчета средних значений Zi нужно провести вертикальные линии через концы отрезков (ограничивается участок кривой Z для определения среднего значения) и горизонтальные линии через равные интервалы (5 или 10 мм) для снятия ординат кривых Zi.
В случае трехмерной задачи напряженность поля dZ на высоте h от элементарного стержня с поверхностью ds, лежащей в плоскости наблюдений, и с поверхностной плотностью σi будет
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

Здесь r — расстояние от точки P до элемента ds;
θ — угол, образуемый проекцией r на плоскость, в которой находится точка Р, и некоторым фиксированным направлением; ds = rdrdθ.
Разобьем всю плоскость, на которой заданы значения Z, на площадки равного действия, в пределах которых Zi будем считать постоянным, равным среднему значению. Поле ΔZ от такой площадки будет
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

Для построения палетки из начала координат проведем луч» через 36° и концентрические окружности, радиусы которых xm определяем из равенства
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

Положим h=1, тогда радиусы окружностей будут: 0; 0,48; 0,75; 1,02; 1,33; 1,73; 2,28; 3,17; 4,91; 9,8 и ∞.
При пользовании палеткой (рис. 80) центр ее совмещается с точкой Р, определяются средние значения Z в каждой площадке и вычисляется Z = 0,01 ∑Zi. Крупные площадки могут быть разбиты на меньшие, например, при разности углов, равной 18°, и разности отношений — 0,05. Тогда внутри большой площадки будет четыре более мелких, в каждой из них находится среднее значение Z, а под знак суммы войдет среднее значение из четырех.
Для вычисления H на новой высоте используются те же палетки, так как поле H можно рассматривать как поле Z над теми же геологическими образованиями при намагниченности, отличной от существующей на 90°.
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

На трехмерной палетке радиусы-векторы и окружности рассекли всю плоскость на площадки, видимые из точки P под одним и тем же телесным углом. Эта палетка применима в том случае, если поле задано в изолиниях, но она неудобна для случая, когда заданное поле представлено в графиках по параллельным маршрутам на равных расстояниях. Для этого случая удобнее использовать средние значения Z (или ΔT) на отрезках маршрутов, заключенных в интервалах между концентрическими окружностями, радиус которых возрастает на величину, равную интервалу между маршрутами, а первая окружность имеет радиус, равный половине интервала. В зависимости от выбранной высоты h, на которой расположена точка Р, углы видимости первого круга и последующих будут различны.
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

Как известно, телесный угол β в центре шара прямо пропорционален поверхности шарового сегмента s = 2πRh1 и обратно пропорционален квадрату радиуса шара R. Через h1 обозначена высота сегмента (рис. 81). Таким образом, β = 2πh1R-1. Напряженность поля в точке P от магнитной массы σi, распределенной на круге радиуса г, выражается формулой Z = σiβ, где σi = Zi/2π. Подставляя значения σi и β, получим
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

Полагая расстояние между маршрутами равным единице, построим палетку для h = 1, т. е. вычислим поле на высоте, равной межмаршрутному расстоянию. На основании рис. 81 выражение Z можно написать так:
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

Значения коэффициента у Zi в зависимости от r при h = 1 и 2 даны в табл. 8. В последних графах в процентах указана относительная доля Zi, т. е. среднего значения Z на площади первого круга r = 0,5, на площади первого кольца r2 — r1, второго кольца r3 — r2 и т. д., в общей сумме, образующей напряженность Z(P).
В пределах первой окружности находится только один отрезок маршрута длиной h; чтобы получить первое слагаемое, надо взять 11% от среднего значения Z (или ΔT) на диаметре первого круга.
Вычисление напряженности поля выше заданной плоскости с известным распределением поля

В первом кольце известна напряженность поля но двум отрезкам того же маршрута, каждый длиною h; кроме того, по одному отрезку большей длины на двух соседних маршрутах. Нужно взять среднее значение Z (или ΔT) от всех значений, попадающих внутрь кольца, и от него — 34%. Так как взять среднее в этом случае трудно, можно распределить 34% между четырьмя отрезками с учетом их веса; в соответствии с этим берутся четыре слагаемых для определения Z от первого кольца: от средних значений на двух отрезках первого маршрута по 6%, а на двух более длинных отрезках на соседних маршрутах по 11%. Внутри каждого следующего кольца выполняется такой же подсчет, причем некоторые отрезки, с почти равной долей участия, объединяются. В результате получается сетка для вычисления Z (или ΔT) на высоте h = 1 (рис. 82). Центральная точка сетки совмещается с проекцией точки P на карту с маршрутами, в пределах каждого отрезка сетки определяется среднее значение поля, от этого значения вычисляются проценты, указанные на сетке, результаты суммируются.
При h = 2 или любом другом значении сетка строится по табличным значениям заново.