Вычисление напряженности поля ниже заданной плоскости с известным распределением поля

Способы вычисления напряженности поля в нижнем полупространстве (относительно плоскости измерений) рассматриваются во многих опубликованных работах. Ниже описываются простые приемы вычислений только для случая двухмерной задачи, т. е. для аномалий большой протяженности.

На основании известного свойства потенциальной функции, заключающегося в том, что значение функции в центре окружности равно среднему ее значению по окружности (при условии, что внутри окружности нет источников поля), можно считать, что значение функции в центре окружности приближенно равно среднему значению функции в четырех точках на окружности, отстоящих на четверть длины окружности одна от другой. Чем меньше радиус окружности, тем точнее это равенство. Оно может быть использовано для приближенного вычисления Z (или Н) ниже заданной линии измерений на уровне -h. Поместим начало координат в точке Р, где значение Z (0,0) известно. Требуется вычислить значение Z (0, -h). Предварительно известным способом вычисляем Z (0, h) на уровне выше заданного. Учитывая, что Z (h, 0) и Z (-h, 0) известны (рис. 83), получим

Более точная формула предложена Лy Сян-дуном. Представим значения Z в точках (0, h) и (0, -h) через значение функции в точке (0,0) и ее приращения в виде ряда Тейлора

На основании уравнения Лапласа Zzz'' = -Zxx'', Zzzzz'''' = -Zxxxx'''' и т. д. Сложив выражения (49,2), после замены вторых производных получим

Вторую и четвертую производные можно заменить через конечные приращения функции, пользуясь которыми получим

Координаты точек, используемых для вычислений, показаны на рис. 84.
В.Н. Страховым предложена формула, предусматривающая использование значений Z только по оси х на уровне съемки:

Во всех приведенных формулах значение Z (0,0) имеет большой коэффициент; погрешность определения первого члена входит в окончательный результат вычислений увеличенной пропорционально коэффициенту.