Вычисление градиентов напряженности поля

15.01.2017

При описании магнитного поля Земли мы уже пользовались термином «нормальный градиент» напряженности геомагнитного поля как величиной, определяющей величину изменения Z0 или H0 в интервале, равном 1 км, по направлению наибольшего изменения составляющих по координатным осям. Применительно к магнитным аномалиям, вызываемым геологическими образованиями, интервал для определения величины градиента в 1 км является слишком крупным. В зависимости от размеров тел, создающих аномалии, градиенты вычисляются (или измеряются) в интервалах от 1 м до сотен метров. Наиболее крупные интервалы используются при глубоком залегании тел, исчисляемом тысячами метров.
Во многих случаях применения магнитного метода выгоднее использовать величину градиента, чем величину напряженности поля. Это особенно важно в случае сложных аномалий, когда магнитные поля крупных и мелких тел, распространяющихся на сильно различную глубину, накладываются одно на другое. Чем выше порядок производной от магнитного потенциала, тем быстрее она убывает по мере удаления от намагниченного тела. Это явление может быть успешно использовано для относительного уменьшения влияния более удаленных (по вертикали или горизонтали) тел в общем суммарном поле.
Аналогично тому, как при использовании гравитационного метода применяются гравиметры и вариометры (градиентометры) для решения различных геологических задач, так же и при использовании магнитного метода следовало бы иметь специальную аппаратуру для измерения как напряженности поля, так и его градиентов. Для непосредственного измерения градиента используются только опытные конструкции приборов, серийного производства градиентометров нет. Поэтому в тех случаях, когда для геологических заключений полезно иметь данные о распределении поля градиентов, последние вычисляются по известному распределению поля Z или ΔT.
Величина градиента Z по горизонтали в интервале Δx приближенно вычисляется как разность значений Z в двух точках, находящихся на расстоянии Δх. В случае сильно вытянутых аномалий линии наибольших изменений перпендикулярны к оси аномалии.
Таким же приемом можно определить градиенты Z (или ΔT) по вертикали: вычислив напряженность поля на высоте Δh, путем вычитания находим величину приращения в интервале Δh.
Один из возможных способов непосредственного вычисления градиента по вертикали излагается ниже.
В случае плоской задачи напряженность поля Z в точке P на высоте h над линией х выражается формулой
Вычисление градиентов напряженности поля

Вертикальная составляющая градиента поля Z будет
Вычисление градиентов напряженности поля

Заменяя интегрирование суммированием, можно написать общее выражение слагаемого при малых, но конечных размерах отрезка как интеграл в пределах от хn до хn+1. Для малого отрезка Ax значение Z. полагаем постоянным, равным среднему, выносим его за знак интеграла. Остающееся подынтегральное выражение преобразуем с помощью очевидного равенствах — h tg θ. Придавая приращению h конечное значение Δh, получим следующее выражение приращения ΔZh по вертикали:
Вычисление градиентов напряженности поля

Полагая разность синусов величиной постоянной, равной 0,2, получим
Вычисление градиентов напряженности поля

Значения углов θi даны ранее для построения палетки, используемой при вычислении Z над горизонтальным цилиндрическим телом.
Палетку для вычисления приращения ΔZh (или вертикального градиента поля Z на интервал Δh) удобнее строить при постоянных значениях Δh и h. Высоту h и интервал для определения величины приращения (или градиента) можно выбрать одинаковыми и положить их равными 5 или 10 мм. В зависимости от масштаба чертежа определяются их размеры в метрах. Палетку удобнее построить не в виде расходящихся лучей, а в виде вертикальных линий, пересекающих ось х в точках ее пересечения с радиусами-векторами. Если положить Δh = h = 10 мм, то расстояния от центральной линии до каждой следующей будут (в мм) 1; 2; 3,2; 5; 10; 20; 30; 48; 98 и ∞.
Определять среднее значение Z в больших интервалах трудно поэтому предпоследний интервал полезно разбить на 4 части и провести дополнительные линии на расстояниях 54; 66 и 78 мм от начальной.
В последнем интервале, кончающемся в бесконечности, можно провести несколько линий через десятые доли нормального интервала (т. е. положить разность синусов равной 0,02). Расстояния их от начальной будут 110; 124; 142; 166; 200; 250 мм и т. д. (рис. 88).
Вычисление градиентов напряженности поля

Можно ограничиться расстоянием 200 мм. При пользовании палеткой надо иметь в виду, что средние значения в интервалах до ±10 мм берутся со своим знаком, а в последующих справа и слева — с обратным, как это следует из формулы (51,4).
Пользуясь выражением (51,1), легко построить палетку для вычисления приращения по оси х на той же высоте h. Взяв производную по х и рассуждая аналогично, найдем выражение ΔZx при конечных размерах отрезка Δх:
Вычисление градиентов напряженности поля

Если бы мы пользовались лучевой палеткой, то достаточно было бы повернуть ее на 45°. Для удобства построим ее так же, как для градиента по вертикали. Если положить h = Δx = 5 мм, то расстояния от начальной линии в обе стороны будут 16; 25; 32; 41; 50; 63; 76; 100; 150 мм и ∞. В последнем интервале можно выделить десятые доли, расстояния до них будут 154; 170; 182; 198; 210 мм и т. д.
В соответствии со знаками косинусов все значения Zi с левой стороны от начальной линии берутся со своими знаками, а справа — с обратными.