Вычисление глубины нижней границы намагниченных тел

Определение нижней границы намагниченных тел по аномальному магнитному полю имеет большое значение при поисках и разведке рудных месторождений, при геологическом картировании и изучении структурно-тектонических особенностей крупных геологических регионов в связи с поисками нефти и газа, при изучении строения верхней части земной коры.
Как уже подчеркивалось выше, магнитные аномалии над геологическими объектами во всех случаях должны быть представлены положительными и отрицательными значениями Z (или ΔT). При намагничивании горных пород по направлению, совпадающему с направлением современного магнитного поля Земли, влияние нижней границы намагниченного тела проявляется в виде отрицательных значений Z (или ΔT), окаймляющих область положительных значений. Нетрудно подобрать два тела резко различных по глубине залегания нижней границы, над которыми напряженность поля в области положительных значений будет почти одинакова (начиная с некоторого удаления от точек, где Z = 0), разница же в глубине нижней границы найдет отражение в относительной величине и местоположении минимальных значений Z, в относительной величине площади распространения отрицательных значений. Следовательно, для определения нижней границы необходимо иметь данные о напряженности поля не только над намагниченным телом, но и на значительном удалении от него в плоскости измерений.
Имеется немного работ, в которых делается попытка непосредственного определения глубины нижней кромки тела по относительной напряженности поля в области отрицательных значений Z (или ΔT). Кроме простейших случаев, рассмотренных автором, опубликована работа Л.В. Булиной, в которой дана эмпирическая формула

найденная из теоретических кривых над вертикально намагниченными пластами. В этой формуле h1 и h2 — соответственно глубины верхней и нижней поверхностей пластов, xmin — абсцисса точки с минимальным значением Z, b — полумощность пласта.
В большинстве же работ различных авторов ставится задача о нахождении не нижней границы, а центра тяжести трехмерного или центра нормального сечения бесконечно вытянутого тел. Глубина нижней границы определяется путем удвоения интервала между верхней кромкой и центром тяжести. В указанных случаях используются известные математические формулы, определяющие центр тяжести тела, которые для случая двухмерной задачи имеют вид

Путем различных преобразований аналитических выражений Z и H получают выражения hc и xc в форме отношения моментов различных порядков, содержащих интегралы от Z и Н.
Трудности практического использования полученных формул заключаются в том, что требуются данные о напряженности поля по оси х (для двухмерной задачи) на расстоянии от эпицентра раз в десять больше линейных размеров тела в сечении. Усилия исследователей направлены на возможное уменьшение этого расстояния, так как на практике редко встречаются случаи, чтобы на столь большом расстоянии от объекта исследований отсутствовали аномалии от других объектов. Ho в лучшем случае пока удается снизить указанное требование приблизительно до шестикратного превышения линейных размеров сечения тела.
По-видимому, более успешное решение задачи о сокращении длины профиля, по которому нужно иметь данные о напряженности поля, можно найти на пути использования кривой магнитного потенциала, а не первой его производной. Это следует из общих теоретических соображений: чем выше порядок производных, тем. рельефнее выступает влияние близко расположенных масс; следовательно, для возможного увеличения относительного влияния нижней границы надо ввести в рассмотрение производную нулевого порядка, т. е. кривую потенциала. Это подтверждается исследованиями по использованию гравитационного поля Ag для рассматриваемой цели.
Нельзя не обратить внимания на то, что если для использования довольно сложных формул, определяющих hс и хс, требуется по крайней мере шестикратное расстояние сравнительно с наибольшим линейным измерением сечения сильно вытянутого тела, то в столь удаленной точке магнитное поле сильно вытянутого цилиндрического тела любого сечения можно считать равным полю кругового цилиндра и, следовательно, определить положение центральной точки сечения по простой формуле, например следующим образом.
При вертикальном намагничивании кругового цилиндра (v = 0) поле Z выражается формулой (42,1)

Аналогично легко вывести формулу для трехмерного тела, пользуясь аналитическими выражениями напряженности поля над шаром

Легко подсчитать, что при х ≥ h для поля кругового цилиндра более точная формула будет

где а2 = h2 : x2. При х : h = 6 погрешность определения знаменателя в формуле (56,1) будет 8%.
Если сечение цилиндрического тела считать эллиптическим с очень большим отношением вертикальной оси к горизонтальной (т. е. считать аномалию созданной двумя нитями полюсов с расстоянием между ними 21), то при h = l

т. е. при той же затянутости профиля ошибка будет 11%.
Таким образом, из элементарной теории следует, что глубину залегания центра сечения вытянутого тела (или центра трехмерного тела) можно определить простым способом, если использовать напряженность поля в удаленных точках в тех же границах, которые необходимы для применения более сложных приемов. Однако рассмотренный прием вычисления hc применим лишь в случае вертикальной намагниченности (симметричной кривой Z), а результат вычислений в большей мере зависит от ошибки в выборе нормального поля и случайных погрешностей измерения, чем результат, полученный из отношения моментов.
Для распространения простого приема вычислений hc на асимметричные кривые, уменьшения зависимости результата вычислений от случайных погрешностей измерений и резкого уменьшения необходимой длины профиля используем кривые полной напряженности T, ограничившись случаем двухмерной задачи. Кривая T над круговым цилиндром при любом угле v будет симметричной (42,15).
В практике применения магниторазведки симметричные кривые получаются только в исключительных случаях. По линии х симметричные отрезки кривой T появятся только за пределами проекции тела на плоскость измерений, откуда будет видно, какую часть кривой нужно использовать для вычисления hc. Другой путь получения кривой T, близкой к симметричной, — вычисление Z и H на большей высоте и построение кривой T на новом уровне.
Сравним выражение (42,15) с выражением магнитного потенциала для случая кругового цилиндра при v = 0. Возвращаясь к приему, использованному для вывода аналитических формул Z и H над круговым цилиндром, можем утверждать, что потенциалом, будет

так как именно из этой формулы получаются значения Z и H над круговым цилиндром путем дифференцирования по х и А. Формулы (56,3) и (42,15) отличаются только постоянным множителем от выражения Z над пластом малой мощности, намагниченным по падению и распространяющимся на бесконечную глубину (41,1). Следовательно, к ним применимы все способы вычисления А по симметричной кривой над пластом указанной формы. Из наиболее простых приемов прежде всего надо указать

где х1 и х2 — точки, в которых T = 0,5 Тmax.
Как известно, глубина hc кругового цилиндра определяется половиной расстояния между точками, где Z = 0 (для симметричной кривой). Применение этого способа для вычисления hc затруднено в случае v ≠ 0, хотя один из приемов указан ранее. Ho при неглубоком залегании верхней кромки тела с ограниченным распространением его в глубину положение точек, где Z = 0, сильно зависит от горизонтальной мощности тела и в определенной мере от размеров сечения тела по падению. Если кривая T в области больших значений далека от симметричной, а значения T за пределами 0,5Tmax не осложнены влиянием других источников аномалий, полезно использовать значения Ti в более удаленных точках xi, применяя формулу

которая получается из отношения Tmax:Т. на основе (42,15).
В некоторых случаях для вычисления hc цилиндрических тел можно использовать абсциссы точек на различных высотах, в которых Z = 0. Полагая общее выражение (42,1) равным нулю, находим корни уравнения

Пользуясь найденными корнями, напишем квадратное уравнение в виде произведения

В этом уравнении каждый из множителей представляет уравнение прямой, проходящей через точку hc и одну из точек, где Z = 0. Следовательно, найдя точки перехода кривой Z через нуль на двух достаточно удаленных уровнях и проведя через каждую пару этих точек прямые, мы должны получить точку пересечения прямых, совпадающую с положением точки hc. Из уравнений прямых видно, что они пересекаются под прямым углом (произведение угловых коэффициентов равно минус единице); это может быть использовано в качестве критерия правильности решения задачи.
При неглубоком залегании цилиндрического тела с сечением, сильно отличным от круга, нужно использовать точки перехода Z (или ΔT) через нуль на более высоких уровнях, чем исходный. Таким же способом можно получить положение центра hc по пересечению прямых, проведенных через две пары точек на двух уровнях (еще лучше на трех), соответствующих значениям, где Тa = 0,5Tmax. При использовании этой кривой потребуется меньшая высота подъема, чем при использовании Z, так как кривая Ta над цилиндрическим телом произвольной формы приближается к кривой Тa над круговым цилиндром быстрее сравнительно с кривой Z.