Применение математических машин в магниторазведке

15.01.2017

Математические машины по способу представления величин разделяются на математические машины непрерывного действия, или аналоговые машины, и математические машины дискретного действия или цифровые вычислительные машины. Аналоговые машины, предназначенные для их использования в магниторазведке, находятся в стадии разработки. В настоящее время применяются главным образом цифровые вычислительные машины для разделения магнитных полей и выделения локальных аномалий, определения горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля H по вертикальной составляющей Z, пересчета магнитных аномалий в верхнее и нижнее полупространства, вычисления составляющих магнитного поля Н, Z, ΔT для разных форм геологических объектов.
Определение прямого магнитного эффекта и различные трансформации полей явились первыми задачами, которые успешно были решены на цифровых машинах с программным управлением. Несравненно большие трудности возникли при попытках применить цифровые вычислительные машины для определения геометрических и физических параметров геологических объектов по магнитным аномалиям.
Рассмотренные в данном учебнике способы определения элементов залегания геологических объектов по магнитным аномалиям являются методами аппроксимации или связанными с аппроксимацией составляющих магнитного поля аналитическими выражениями Ф(х), параметры которых подлежат определению.
При использовании аппроксимационных методов необходимо.
1. Установить критерий для оценки степени близости исходной составляющей напряженности магнитного поля Z(х) с подбираемым аналитическим выражением Ф(х).
2. Выбрать физическую модель геологической среды и соответствующее ей аналитическое выражение Ф(х), основываясь на физикогеологических условиях изучаемого геологического района.
3. Разработать вычислительную схему определения параметров, входящих в выбранное аналитическое выражение Ф(х), по значениям ординат практической кривой Z(х).
4. Оценить точность определения искомых параметров.
Применение идеализированных моделей, заменяющих реальную геологическую среду, неизбежно при поисках и разведке, так как часть необходимых сведений обычно отсутствует. Усложнять подбираемую модель при ограниченной исходной информации не всегда целесообразно, так как увеличение числа определяемых параметров может понизить точность вычисления их величины. Сложным физическим моделям отвечают громоздкие аналитические выражения Ф(х), что затрудняет их использование. Из-за ошибок моделирования и инструментальных ошибок, имеющих место при полевых измерениях, полевая кривая Z(х) не совпадает с аналитическим выражением Ф(х). Имеет место соотношение
Применение математических машин  в магниторазведке

где n(х) — функция ошибок.
При использовании атласа теоретических кривых и специальных палеток для определения элементов залегания геологических объектов по магнитным аномалиям методом подбора осуществляется приближенный учет ошибок при визуальном сопоставлении практических и теоретических кривых. С использованием электронных цифровых вычислительных машин особенно отчетливо выявляется необходимость в установлении строгих критериев для выбора теоретической кривой Ф(х), которая в каком-то смысле наименее уклоняется от практической кривой Z(х).
В качестве условия для оценки степени близости между кривыми Z(х) и Ф(х) можно использовать величину
Применение математических машин  в магниторазведке

где хi — абсцисса точки, в которой произведено измерение вертикальной составляющей напряженности магнитного поля Z; s — число точек графика Z, используемых для аппроксимации. Соотношение (2) применяется в среднеквадратичных приближениях. Для независимых случайных ошибок и помех, подчиненных нормальному закону, оценка (2) будет наилучшей.
Представление экспериментальных ошибок измерения вертикальной составляющей напряженности магнитного поля Z в виде случайной функции не вызывает возражений. Ошибки моделирования, возникающие при замене реальных геологических структур упрощенными моделями, не всегда удается описать случайными функциями. В магниторазведке может встретиться тот наихудший случай, когда об ошибках ничего не известно кроме того, что их величина по модулю не превосходит некоторые малые положительные числа vi. В этих предположениях Л.В. Канторович рекомендует использовать в качестве критерия для оценки близости кривых Z и Ф неравенства
Применение математических машин  в магниторазведке

В геофизических методах разведки находят применение оба условия (59,2) и (59,3). Выбор одного из них зависит от характера инструментальных ошибок и ошибок моделирования.
В математике широкое распространение получила аппроксимация алгебраическими полиномами. К сожалению, кривые вертикальной составляющей напряженности магнитного поля создаваемые геологическими структурами и рудными объектами, не задаются аналитическими выражениями полиномиального вида. Тем не менее аппроксимацию полиномами удается применить, используя специально подобранные функции
Применение математических машин  в магниторазведке

где a0, a1, a2, b0, b1, b2 — некоторые коэффициенты, найденные путем аппроксимации функции E и F полиномами. Так, например, используя формулы (41,1), справедливые для маломощного пласта, бесконечно вытянутого по простиранию и падению, получим
Применение математических машин  в магниторазведке

где m = 2Jb.
В этом случае а0 = 0, a1 = -1/2m, а2 = 0, b0 = 1/2m, b1 = 0, b2 = 0. У пласта, ограниченного по падению, один из коэффициентов a2, b2 или оба отличны от нуля. Можно показать, что квадратное уравнение
Применение математических машин  в магниторазведке

имеет комплексные корни х1 + шр1, х2 + ih2, где х1, h1 и x2, h2 — координаты особых точек, находящихся на верхней и нижней кромках маломощного пласта.
В настоящее время для выполнения всех необходимых вычислений на электронной цифровой вычислительной машине «Урал-1» составлены программы К.Е. Черниным и Л.Г. Перфильевым. Обе программы предусматривают вычисление по вертикальной составляющей Z горизонтальной составляющей H и вычисление функций E и F. Коэффициенты a0, a1, а2, b0, b1, b2 находят методом наименьших квадратов путем аппроксимации кривых E и F квадратными полиномами. Последней операцией является решение квадратного уравнения (59,5).
Полиномиальные приближения при определении элементов залегания геологических объектов по магнитным аномалиям имеют ограниченное применение. В случае нескольких маломощных пластов, бесконечно вытянутых по падению и простиранию, встает задача об аппроксимации кривой Z аналитическим выражением
Применение математических машин  в магниторазведке

где xj, hj — координаты верхней кромки j-го пласта; Mj = 2Jjbj — произведение намагниченности пласта Jj на его горизонтальную мощность bj; уголvj определен ранее; A — постоянный фон; r — число пластов; Ck — некоторые коэффициенты, получаемые после приведения рассматриваемого выше выражения к общему знаменателю.
Соотношения (59,3) и (59,6) позволяют написать следующую систему линейных неравенств:
Применение математических машин  в магниторазведке

решая которую методом Г.Ш. Рубинштейна, найдем численные значения коэффициентов Ck. Можно показать, что уравнение
Применение математических машин  в магниторазведке

имеет комплексные корни xj + ihj, где xj, hj — координаты особой точки, совпадающей с верхней кромкой j-го маломощного пласта. Результаты опробования этого метода на практических примерах приводятся в работе.
Определение элементов залегания маломощного пласта по графику а (рис. 97) вертикальной составляющей напряженности магнитного поля Z производилось на машине «Урал-2». Составленная К.Е. Черниным программа рассчитана на максимальное число подбираемых пластов, равное трем.
Кривая а рис. 97 имеет четкий максимум и два небольших минимума по бокам. Поэтому два маломощных пласта уйдут на учет влияния верхней и нижней кромок магнитного объекта, а третий пласт надо зарезервировать на случай появления криволинейного фона. На учет небольших искажений правой ветви кривой пластов больше не остается. В связи с этим в местах искажения правой ветви графика Z значения vj заданы сравнительно большие.
Машиной подобраны две особые точки. Первая особая точка, соответствующая верхней кромке пласта, залегает на глубине 1,25 км.
Для первой и второй особых точек углы v1 = -3° и v2 = 170° отличаются друг от друга приблизительно на 180°, поэтому можно утверждать, что вторая особая точка соответствует нижней кромке пласта. Это легко понять, если вспомнить, что пласт, ограниченный по падению, можно представить как разность двух пластов, бесконечно вытянутых по падению. Глубина залегания нижней кромки оказалась равной 8 км.
Применение математических машин  в магниторазведке

На рис. 97, б, где представлена правая часть графика а, имеются три небольших искажения, каждое из которых может соответствовать маломощному пласту. Величины vi заданы таким образом, чтобы добиться наибольшего совпадения исходной Z и подбираемой Ф кривых в районе двух искажений кривой Z. Третье искажение кривой Z нами во внимание не принимается, поэтому для него значения vi взяты большими. Это связано с тем, что третий пласт мы вынуждены были оставить для учета влияния криволинейного фона. Соответствующие криволинейному фону два вещественных корня xj = -2,10 и xj' = 1,91 располагаются на оси абсцисс. Можно показать, что в случае вещественных корней входящая в выражение (59,6) дробь
Применение математических машин  в магниторазведке

заменяется суммой дробей
Применение математических машин  в магниторазведке

где Aj, Aj' — некоторые постоянные. Криволинейный фон (59,9) вводится автоматически. При использовании составленной программы оператору следует лишь учитывать, что при наличии криволинейного фона число подбираемых маломощных пластов уменьшается на один пласт.
В некоторых случаях уточнение значений vi можно поручать машине. С этой целью в исходные неравенства (59,3) вводится коэффициент К, подбираемый машиной:
Применение математических машин  в магниторазведке

Подбор коэффициента К связан с дополнительной затратой машинного времени, что не всегда экономически целесообразно. Один час работы машины «Урал-2» стоит 30 руб. Определение элементов залегания маломощных пластов по кривой средней сложности занимает 4—5 мин. Подбор коэффициента К может увеличить это время до 10 мин и иногда более. Время определения элементов залегания пластов на машине также растет с увеличением числа ординат Z (xi), вводимых в машину.
Изложенная выше методика позволяет находить все элементы залегания системы маломощных пластов. Уменьшение числа определяемых параметров и введение дополнительных условий повышает точность вычисления параметров. Будем поэтому кривую Z аппроксимировать системой маломощных пластов, намагниченных по падению, верхние кромки которых залегают на одинаковой глубине h0. Такой физической модели соответствует аналитическое выражение
Применение математических машин  в магниторазведке

которое совпадает с формулой (59,6), если положить vj = 0. Для сведения задачи к линейной заранее зададимся значениями координат xj, h0 и будем находить величины Mj. Такая методика была предложена А.А. Юньковым и Е.Г. Булах. Подставляя выражение (59,11) в неравенство (59,10), получим
Применение математических машин  в магниторазведке

где aij — известные нам коэффициенты
Применение математических машин  в магниторазведке

Определение переменных Mj, удовлетворяющих неравенствам (59,12) при дополнительном условии
Применение математических машин  в магниторазведке

Л.В. Канторович связывает с решением соответствующей задачи линейного программирования. Все необходимые вычисления можно выполнять на электронной цифровой вычислительной машине «Урал-2», используя программу, составленную Г.Г. Кравцовым.
Программа предусматривает подбор минимального значения коэффициента К, при котором еще возможно удовлетворить всей совокупности неравенств (59,12). На рис. 98 приведен график зависимости коэффициента К от глубины h0. Минимум К располагается вблизи верхней кромки маломощного пласта, залегающей на глубине, равной 10 условным единицам. Последовательное вычисление величин Mj на разных уровнях напоминает аналитическое продолжение поля в нижнее полупространство. Главное отличие рассматриваемой вычислительной схемы связано с дополнительным условием (59,14), которое обеспечивает появление минимума на кривой зависимости коэффициента К от глубины h0.
С помощью формулы (59,11) иногда удается вычислить региональную составляющую магнитного поля, если в формулу подставить величины Mj, вычисленные путем решения неравенств (59,12), в которых используются значения Z(хi), взятые в точках, находящихся вне локальных аномалий, а глубина h0 выбрана достаточно большой.
Анализ полученных результатов показывает, что путем решения неравенств (59,12) определяются величины Mj, не всегда совпадающие с их истинными значениями Mj(0). Тем не менее имеет место приближенное равенство
Применение математических машин  в магниторазведке

Чтобы приблизиться к истинным значениям величин Mj(0), С.В. Шалаев предлагает ввести более жесткие ограничения
Применение математических машин  в магниторазведке

где M — некоторая величина, подлежащая определению; pj — заранее заданные весовые коэффициенты, которые при отсутствии дополнительных сведений можно положить равными единице. Соотношение (59,16) позволяет ввести целочисленные переменные
Применение математических машин  в магниторазведке

С помощью равенств (59,15) и (59,17) преобразуем неравенства (59,12) следующим образом:
Применение математических машин  в магниторазведке

Задачу определения целочисленных двоичных переменных будем рассматривать как комбинаторную задачу. Число всех возможных вариантов равно 2r. Перебрать 2r вариантов при r ≤ 16 и выделить те из них, которые удовлетворяют всем неравенствам (59,18), удается на машине «Урал-2» за приемлемое время (около 10—30 мин). Полученные результаты приведены на рис. 98.
Время, затрачиваемое на перебор целочисленных решений, резко растет с увеличением числа r. Поэтому представляется заманчивым предложение М.В. Рыбашова получать целочисленное решение с помощью следующей задачи квадратичного программирования:
- найти максимум функции
Применение математических машин  в магниторазведке

- при наличии ограничений (59,12)
Применение математических машин  в магниторазведке

Легко видеть, что выражение (59,19) достигает наибольшего значения в области, определяемой неравенствами (59,20) только при εj равном нулю или единице.