Геометрия регулярных и нерегулярных поверхностей

Выбор геометрии поверхности пространственных конструкций производится с учетом необходимости удовлетворения: функциональных, градостроительных, эстетических требований; условий рациональной статической работы; условий членений поверхностей на унифицированные сборные элементы, отвечающие индустриальности изготовления и монтажа.

При проектировании оболочек используются поверхности вращения (сфера, тор, параболоид и эллипсоид вращения) и поверхности переноса (гиперболический и эллиптический параболоид, круговая поверхность переноса). Наиболее часто применяемые поверхности приведены в табл. 1.2.1.

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную в результате вращения кривой вокруг заданной оси. Поверхностью переноса называют поверхность, образованную параллельным перемещением (переносом) кривой одного направления (производящей или образующей), опирающейся некоторыми точками на другую кривую — направляющую.

Уравнения поверхностей вращения:

- для сферической поверхности с центром в начале координат (рис. 1.2.1)

- для параболоида вращения, образованного вращением параболы z = x2 вокруг оси z (рис. 1.2.2)

- для тора (рис. 1.2.3)

где r0 — расстояние от начала координат до центра окружности; r1 — радиус окружности, образующей тор;

- для эллипсоида вращения

Уравнения поверхностей переноса:

- для гиперболического параболоида (рис. 1.2.4 и 1.2.5)



где f1, f2 — стрелы подъема контурных кривых поверхности, для эллиптического параболоида (рис. 1.2.6)

где f1, f2 — стрелы подъема контурных кривых поверхности;

- для круговой поверхности переноса (рис. 1.2.7 и 1.2.8)

В случае параметрического задания функций уравнения поверхностей записываются так:

- для цилиндрической поверхности радиуса R (рис. 1.2.9)

- для сферической поверхности радиуса R (рис. 1.2.10)

В качестве параметров в формулах (1.2.9) и (1.2.10) приняты геометрические угловые координаты: ф = а — широта, 0 = в — долгота. Линиями а являются меридианы 0 = в = const, линиями в — параллели ф = a = const. В качестве параметров а, р могут быть приняты длины линий, измеряемых на поверхности (лонгальные параметры). Можно один параметр принять лонгальным, как например, в формуле (1.2.9), z = z, а другой — угловым, 0 = в;

- для тороидальной поверхности

В формулах (1.2.11) r0, r1 имеют те же значения, что и в формуле (1.2.2); a, в — угловые параметры, представляющие собой географические координаты.

Внутренняя геометрия поверхностей оболочек определяется первой квадратичной формой (рис. 1.2.11...1.2.14).

Выражение для первой квадратичной формы ds2:

где а, в — криволинейные координаты.

Коэффициенты E, F, G вычисляются по следующим формулам:

где х, у, z — декартовы координаты, х=х(а ,в); у=у(а, Р); z = z(а, в). Зная первую квадратичную форму, можно:

а) вычислить длину линии, лежащей на поверхности и ограниченной точками, соответствующими значениям параметров t1 и t2.

б) определить углы между координатными линиями а и в (как угол между касательными к этим линиям):

где подкоренные выражения принимаются положительными;

в) вычислить площади участков D поверхности

Для случая, когда поверхность задана уравнением

коэффициенты Е, F, G имеют следующий вид:

где р =dz/dx; q = dz/dy — обозначения Монжа, а первая квадратичная форма записывается так:

Косинус и синус координатного угла определяется по формулам

Внешняя геометрия поверхностей оболочек (т. е. искривленность в пространстве) определяется второй квадратичной формулой

где коэффициенты L, М, N можно представить в виде определителей:

Коэффициенты L, N характеризуют нормальную кривизну линий а и в в рассматриваемой точке, а коэффициент M — кручение этих линий в этой же точке.

Коэффициенты Е, F, G, L, M, N, зависящие от двух координат поверхности а и р, не могут быть произвольными. Им соответствует регулярная поверхность лишь в том случае, если они удовлетворяют трем дифференциальным зависимостям, называемым уравнениями Кодацци — Гаусса.

Кривизна нормального сечения в заданной точке определяется по формуле

В теории поверхностей в этом выражении знак минус означает положительную кривизну нормального сечения.

В каждой точке исследуемой поверхности есть два направления, нормальные сечения по которым будут иметь экстремальные кривизны. Эти направления называются главными, а соответствующие им кривизны — главными кривизнами.

Главные кривизны определяются из решения квадратного уравнения относительно 1/R:

Учитывая, что решение этого уравнения трудоемко, рекомендуется главные кривизны определять на основании теоремы Виета:

где 1/R1, 1/R2 — главные кривизны.

Произведение главных кривизн 1/R1*1/R2 = К называется гауссовой кривизной, а полусумма главных кривизн Kср — средней кривизной поверхности в данной точке. Гауссова кривизна К является одной из важнейших характеристик в теории поверхностей оболочек.

Кривизна нормального сечения в любом направлении определяется с помощью индикатрисы Дюпена, которая представляет собой геометрическое место на поверхности концов отрезков, равных VR и отложенных из заданной точки. Она является центральной кривой второго порядка.

Уравнение индикатрисы Дюпена имеет следующий вид:

где в правой части при R > 0 принимается знак минус, а при R < 0 — плюс.

Дискриминант старших членов уравнения (1.2.26)

При b больше 0 индикатриса представляет собой эллипс, при b < 0 — пару сопряженных гипербол, при b = 0 — пару сопряженных прямых.

Если индикатриса представляет собой эллипс, то все R будут одного знака — кривая нигде не переходит через нуль или бесконечность (рис. 1.2.15). Поверхность в такой точке — выпуклая, а сама точка называется эллиптической.

В эллиптической точке R примет максимальное значение R1, когда вектор касательной к нормальному сечению совпадет с большой осью эллипса, и минимальное значение R2, когда этот вектор совпадет с малой осью. Направления касательных к нормальным сечениям, совпадающие с осями эллипса, называются главными направлениями. Точка, в которой главные направления не определены, называется точкой округления. Сферическая поверхность служит примером поверхности, в которой все точки являются точками округления.

В эллиптической точке гауссова кривизна К [формула (1.2.25)] является величиной положительной. Поверхность, в каждой точке которой гауссова кривизна К [формула (1.2.25)] положительна, является поверхностью положительной гауссовой кривизны.

Если индикатриса представляет собой пару гипербол, то при совпадении вектора касательной к нормальному сечению с асимптотами кривизна 1/R = 0(R = 00). Кривая изменяет знак, а поверхность изменяет выпуклость на вогнутость. Нормальное сечение, пересекающее асимптоту, в точке пересечения имеет кривизну, равную нулю. Эта точка — точка перегиба кривой нормального сечения (рис. 1.2.16).

Точки поверхности, в которых индикатрисой являются сопряженные гиперболы, называются гиперболическими, а кривизна поверхности в этих точках — гиперболической кривизной.

В гиперболической точке гауссова кривизна К [формула (1.2.25)] является величиной отрицательной. Поверхность, в каждой точке которой К отрицательна, называется поверхностью отрицательной гауссовой кривизны. Примерами таких поверхностей могут служить: гиперболический параболоид, однополостный гиперболоид, гиперболоид вращения, катеноид и др. (рис. 1.2.17).

Знак гауссовой кривизны К совпадает со знаком дискриминанта индикатрисы. Если индикатриса представляет собой пару прямых, то кривизна нормального сечения в данной точке по одному главному направлению будет иметь нулевое значение, а по другому — отличное от нуля. Такая точка поверхности называется параболической. Простейшими примерами поверхностей, каждая точка которых является параболической, служат параболический и круговой цилиндры и конус второго порядка.

Гауссова кривизна К в параболических точках равна нулю. Поверхности, в которых каждая точка параболическая, называются поверхностями нулевой гауссовой кривизны.

Параболическая линия тора разделяет его поверхность на области эллиптических и гиперболических точек, но кривая нормального сечения (овал) располагается по одну сторону от касательной (рис. 1.2.18).

Только некоторые из поверхностей второго порядка отрицательной гауссовой кривизны обладают замечательным свойством: содержат два семейства прямых линий — прямолинейных образующих (рис. 1.2.19). Типичными представителями таких поверхностей являются: рассмотренный выше гиперболический параболоид и гиперболоид вращения (рис. 1.2.20). Наличие прямолинейных образующих позволяет выделить из этих поверхностей косоугольные фрагменты поверхности двоякой кривизны, ограниченные четырьмя прямыми линиями. Из этого же рисунка видно, что фрагмент поверхности гиперболического параболоида может быть образован движением прямой, которая скользит по скрещивающимся неподвижным прямым и остается параллельной заданной неподвижной плоскости.

В отличие от регулярных поверхностей, уравнения которых задаются посредством однозначных непрерывных и не менее двух раз дифференцируемых (в обычном смысле) функций, функции, описывающие нерегулярные поверхности, не имеют производных в классическом представлении в каждой точке поверхности. В отличие от регулярных поверхностей, которые описываются аналитическими выражениями, нерегулярные произвольные формы не имеют таких элементарных способов описания.

Одним из видов нерегулярных поверхностей являются поверхности составные; пространственные конструкции, очерченные по этим поверхностям, называют составными. От других видов поверхностей они отличаются тем, что образуются как совокупность нескольких или многих элементов поверхностей, пересекающихся между собой. В местах сопряжения этих элементов имеется сосредоточенное (скачкообразное) изменение кривизны. Составляющие элементы поверхностей могут быть также и разных типов.

Составные поверхности содержат линии перелома в местах сопряжения составляющих элементов, т. е. первые производные функций, описывающих такие поверхности, имеют разрывы в конечном числе линий или направлений.

При возможности использования ЭВМ сложные поверхности задаются в основном дискретно. В этих случаях для определения всех требуемых для описания конструкции геометрических параметров составляются алгоритмы и программы расчета как генеральных размеров так и размеров отдельных элементов.

Расчет геометрии сложных нерегулярных поверхностей выполняется в два этапа. На первом этапе определяют генеральные размеры конструкции: пролет, высоту подъема, форму поверхности, радиусы кривизны элементов, составляющих сложные поверхности. Эти параметры назначают исходя из суммы требований, указанных выше.

Расчет глобальной геометрии выполняют с учетом заданных генеральных параметров, условий применения унифицированных элементов, требований «сшиваемости», т. е. возможности сопряжения отдельных составляющих сложные формы фрагментов поверхности. Методически этот расчет представляет собой итерационный процесс, на каждом этапе которого производится некоторая корректировка геометрических параметров. В случае необходимости, учитывая сложность формы, на этом этапе составляются алгоритм и программа расчета геометрии на ЭВМ.

Второй этап расчета геометрии обусловлен особенностями применяемых для расчета численных методов строительной механики. Рассматриваемый этап расчета геометрии сводится к определению координат отдельных точек поверхности относительно принятой глобальной системы координат. Геометрическая поверхность рассматривается как поверхность, полученная сопряжением поверхностей составляющих фрагментов. Первоначально определяется положение узлов сетки дискретизации конструкции в пространстве в локальной системе координат каждой составляющей оболочки. Ее выбор связан с условием максимального приближения сетки дискретизации к сетке ребер конструкции, если они имеются. Далее задается приращение по двум координатам от узла к узлу в плане. Возможно задание приращения по одной из координат и в зависимости от конфигурации плана составляющей оболочки вторая координата определяется как функция первой. Используя аналитические зависимости, описывающие уравнение поверхности составляющих оболочек, определяют третью координату. На линии сопряжения смежных составляющих оболочек координаты узловых точек принимаются равными координатами узловых точек, принадлежащих одной из смежных поверхностей, а остальные примыкающие поверхности «натягиваются» на эти узловые точки. Часто оказывается целесообразным принять координаты узловых точек линии сопряжения равными среднему арифметическому координат узлов примыкающих составляющих оболочек.

Результатом всех указанных выше действий являются вычисленные координаты узлов сетки дискретизации конструкции в локальных системах координат каждой составляющей оболочки. Далее выбирается глобальная система координат составной поверхности в целом, с которой соотносят локальные системы координат составляющих элементов. Векторы координат узлов конструкции в глобальной и локальной системах координат связаны зависимостью

где [X] — вектор координат узлов конструкции в глобальной системе координат; [С] — матрица направляющих косинусов углов поворота осей глобальной системы координат по отношению к осям локальной системы координат; {Xi} — вектор координат узлов конструкции в локальной системе координат; {A} — вектор координат центра локальной системы координат в глобальной системе.

В соответствии с выражением [С] для каждой составляющей оболочки определяются координаты узлов конструкции в глобальной системе координат.