Устойчивость предельного равновесия оболочки положительной гауссовой кривизны при равномерно распределенной нагрузке

Рассмотрим квадратную в плане оболочку со стороной а с формой поверхности в виде пологого параболоида вращения, свободно опертую по контуру, загруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рис. 1.4.17). Обозначим через l = а/V2 длину каждого ребра перелома, идущего от центра к вершинам опорного контура; через f — высоту подъема оболочки, b — толщину оболочки. Предел текучести материала от = от+ = от-.

где Sт, ф — статический момент и угол поворота треугольника ABO относительно стороны AB, Sт = a3/24; S+, S- — статические моменты растянутой и сжатой частей сечения оболочки по диагональному ребру перелома относительно стороны АВ; F+, F- — площади криволинейных трапеций, ограниченные срединной линией ребра перелома и ПОВ (рис. 1.4.18, а); 0 — угол взаимного поворота смежных дисков излома; 0 = фV2.

Приравнивая нулю сумму выражений (1.4.106) и (1.4.107), получим

Уравнение линии ребра перелома в пологом параболоиде после поворота граней оболочки вокруг линий опорного контура на угол ф получит вид

В первой стадии деформирования ПОВ пройдет через точку, в которой х = l/2, и ее аппликата (рис. 1.4.18, а):

Определив значения F+ и F- для этой стадии деформирования и подставив найденные значения в (1.4.108), получим

При ф = 0 верхняя критическая нагрузка

Первая стадия деформирования закончится, когда средняя точка оболочки коснется плоскости осей вращения (рис. 1.4.18, б), т. е. при ф = f/(2l):

Вторая стадия деформирования будет при ф больше f/(2l) (рис. 1.4.18, в). Для нее

где d — расстояние от начала ребра перелома до начала его сжатой зоны.

Минимального значения q (нижняя критическая нагрузка) достигает при d = l/4:

при ф = f/l (рис. 1.4.18, г).

При d = 0, ф = 3f/(2l) значение q снова достигает величины 3отb/а2, после чего начинается третья стадия деформирования, при которой в середине пластинки возникает растяжение, а по краям — сжатие (рис. 1.4.18, д). При этом для q справедлива формула (1.4.110) с обратным знаком значений величин в скобке:

т. е. q с увеличением ф возрастает. Общий вид зависимости а(ф) показан на рис. 1.4.19.

Нисходящий участок кривой на этой зависимости соответствует неустойчивым состояниям равновесия, а восходящий— устойчивым. При постепенном повышении q оболочка деформируется по рассматриваемой схеме, пока не достигнет предельного значения (1.4.111), после чего ввиду невозможности неустойчивых состоянии равновесия, должен произойти перескок на восходящий участок кривой q(ф), как показано на рис. 1.4.19 штриховой линией. Практически вследствие ограниченности деформаций после достижения верхней критической нагрузки железобетонная оболочка разрушается, не достигнув устойчивых состояний равновесия. Ввиду того, что реальный материал оболочек обладает упругопластическими свойствами и к моменту достижения предельного состояния оболочка деформируется, рекомендуется величину критической нагрузки определять по формуле (1.4.112) для стадии деформирования, когда средняя точка оболочки касается ПОВ.