Метод интегральных оценок в расчете деревянных пространственных конструкций

Высокая степень статической неопределимости пространственных конструкций обусловливает значительные резервы несущей способности за счет перераспределения внутренних усилий. Например, в случае загружения купола, изображенного на рис. 2.13.4 односторонней равномерно распределенной нагрузкой, меридиональные ребра напрягаются неодинаково. Наиболее напряженным будет ребро, расположенное в центральной части загруженной половины. При определенной величине нагрузки деформации в этом ребре достигнут предельных и начнутся пластические деформации. Разрушения конструкции, однако, не произойдет, так как через обшивку нагрузка с центрального ребра передается на соседние, менее напряженные. Таким образом увеличение нагрузки может происходить до тех пор, пока зона пластических деформаций не захватит достаточно большую площадь конструкции и несущая способность ее будет исчерпана. Напряжения на отдельных участках ребер и обшивок при этом могут значительно превосходить расчетные. Изучение и использование резервов несущей способности конструкций, обусловленных описанными процессами, представляют большой практический интерес.

Известны различные подходы учета физической нелинейности работы материалов в конструкциях. Ниже излагается метод интегральных оценок нелинейных и неравновесных свойств деформирования древесины, предложенный проф. В.М. Бондаренко для железобетонных конструкций.

В основу расчета положены следующие предпосылки: 1) сечения стержневых конструкций остаются плоскими вплоть до разрушения, если оценивать форму сечений в среднем (гипотеза плоских сечений); 2) сохраняется положение о малости деформаций (геометрически линейная задача); 3) сохраняются принцип возможных перемещений и гипотеза об аддитивности (однозначной взаимосвязи) причин и следствий деформирования. Гипотеза об аддитивности формулируется в виде принципа независимости действия сил; 4) кроме внешней статической неопределимости в нелинейно-неравновесно-деформируемых конструкциях имеет место и внутренняя статическая неопределимость. Внутренняя статическая неопределимость сечений внешне статически неопределимых систем раскрывается в едином процессе последовательных приближений, осуществляемом для каждого из исследуемых моментов времени. Нелинейность, неравновесность и анизотропия деформирования, изменения внешних нагрузок приводят к перераспределению усилий во внешне статически неопределимых конструкциях, изменению высоты сжатой зоны. При этом более нагруженные компоненты сечений и сами более нагруженные сечения разгружаются, а менее нагруженные — догружаются. Это выражается соответствующими трансформациями эпюр усилий и эпюр напряжений и представляет собой одно из проявлений приспособляемости конструкций.

Диаграмму деформирования древесины целесообразно аппроксимировать параболической зависимостью Ф.И. Герстнера

где а, е — текущие значения напряжений и относительных деформаций; E0 — мгновенный начальный модуль деформаций; ots — кратковременный предел прочности.

В растянутой зоне сжато-изгибаемого элемента (например, меридиональных ребер купола) эта зависимость близка к линейной, т. е. соответствует хрупкому разрушению, а в сжатой зоне с определенного уровня деформации диаграмма искривляется, что соответствует пластической работе древесины.

С помощью метода интегральных оценок осуществляется требуемая линеаризация задачи, временная фиксация неравновесных признаков деформирования. При этом линеаризация сохраняет связь характеристик жесткости с уровнем нагружения; временная фиксация учитывает влияние режима и длительности загружения.

В большинстве пространственных конструкций элементы каркаса испытывают под нагрузкой сжатие с изгибом. При этом нелинейность деформирования материалов предопределяет различие модулей деформаций в точках с разными напряжениями. Это является причиной математических трудностей решения, которые значительно снижаются путем применения интегрального модуля деформаций.

Рассмотрим последовательно определение интегрального модуля деформаций применительно к деревянным конструкциям. Для древесины при достаточно высоких уровнях напряжений характерна сложная нелинейная ползучесть. В связи с этим к древесине применим метод А. Р. Ржаницына, предусматривающий деление процессов деформирования на три стадии и замену сложной нелинейной связи между напряжениями и деформациями кусочнолинейными зависимостями, удовлетворяющими условию неразрывности деформаций, напряжений и скоростей деформирования при переходе от одной стадии деформирования к другой. Чтобы описать процесс деформирования на этих стадиях, приняты уравнения:

Переход из одной стадии в другую определяется величиной максимальной относительной деформации, критической для каждой стадии.

Критическая деформация для первой стадии

Критическая деформация для второй стадии

В формулах (2.14.2)...(2.14.6) приняты обозначения: n — время релаксации; Eq — мгновенный начальный модуль деформации; H — длительный модуль деформаций (для древесины H = (0,6...0,75)Е0 = E0 = 10в4 МПа; В — модуль деформаций при критическом нарастании деформаций; od — длительный предел прочности, od = 22,0 МПа; ots — кратковременный предел прочности, ots = 35,0 МПа.

Каждая из стадий может описываться различными уравнениями. Здесь в области линейной ползучести вместо решения уравнения (2.14.1) принята зависимость, предложенная проф. Ю.М. Ивановым:

W — влажность древесины, %.

В этой стадии при о меньше оd и упругие деформации и деформации ползучести полностью обратимы. Следовательно, справедлив принцип наложения, т. е. полные деформации при ступенчатом нагружении могут определяться как сумма деформаций от каждой ступени.

Суть интегральной оценки состоит в отказе от использования различных модулей деформации в каждом дискретном слое, замене реальных деформаций интегральными и минимизации отклонений их друг от друга. При этом уравнения механического состояния материалов е(о, t0, t) независимо от характера нелинейности записывается в виде

где t0, t — начальный и текущий моменты времени; z — ординаты точек сечения; Ein(x, t) — искомый модуль деформаций для сечения с абсциссой х.

В результате описанных действий интегральный модуль деформаций представляется в следующем виде:

Здесь Edf(efa, to, t) — длительный модуль деформации фибрового волокна сжатой кромки элемента согласно С.Е. Фрайфельду (более общее представление длительного модуля деформаций, чем модуль H по А.Р. Ржаницыну); Ф(еfa, b, а) — функция, отражающая нелинейность деформирования сжато-изгибаемого элемента, уровень напряжений. Можно считать, что эта функция не зависит от стадии деформирования; ef — активные относительные деформации фибрового волокна сжатой кромки элемента; а, b — соответственно размеры высоты сжатой и растянутой зон сечения.