Формообразование мягких оболочек

12.09.2020

Основными конструктивными элементами воздухоопорного сооружения, определяющими условие его существования как строительного объекта, являются: оболочка, опорные устройства и воздухоподающая установка (рис. 2.16.1). Кроме того, по условиям эксплуатации используются дополнительные элементы — входные устройства, световые проемы, монтажные швы, отопительные установки.

Оболочка меняет свою форму в зависимости от характера прилагаемой к ней нагрузки. Различают три ее состояния (рис. 2.16.2): 1) начальное, или раскройное, — давление воздуха превышает атмосферное лишь настолько, чтобы расправить складки; 2) исходное — давление воздуха достигает эксплуатационного уровня; 3) конечное — к полностью надутой оболочке приложены внешние нагрузки.

Раскройная форма оболочки не может быть произвольной. Ее проектирование следует вести, придерживаясь следующих трех основных принципов, касающихся главных напряжений оболочки n1 и n2 при дальнейшем наполнении ее воздухом:

1) оба главных напряжения положительны (двухосное напряженное состояние):

2) оба главных напряжения положительны и равны между собой (равнонапряженное состояние):

3) одно из главных напряжений положительно, другое, определяемое по деформациям, отрицательно (одноосное напряженное состояние)

Условие равновесия в рассматриваемой точке оболочки выражается формулой Лапласа

где r1, r2 — главные радиусы кривизны в рассматриваемой точке; р — нормальная составляющая нагрузки (в данном случае избыточное давление воздуха).

Исходная форма образуется в результате деформаций материала, в общем случае анизотропного с нелинейными упругими характеристиками. Нахождение исходной формы представляет собой специальную задачу расчета оболочек. Формоизменения оболочки, вызванные растяжением ее материала под действием внутреннего давления воздуха, по сравнению с перемещениями оболочки, вызываемыми внешними нагрузками, невелики. Поэтому в практике проектирования строительных объектов исходную форму нередко отождествляют с начальной (раскройной), что равносильно принятию гипотезы о нерастяжимости материала.

Геометрические формы воздухоопорных оболочек могут быть простыми (как правило, это поверхности вращения), составными (из участков простых оболочек) и сложными, не имеющими математического выражения (исключение составляют те из них, формы которых определены уравнением мыльной пленки).

Оболочки вращения (рис. 2.16.3) с уравнением меридиана r = r(z) имеют радиусы главных кривизн:

Меридиональные n1 и кольцевые n2 усилия от избыточного давления воздуха определяются по формулам

Как видно из (2.16.6), кольцевые усилия остаются растягивающими до тех пор, пока выражение в скобках положительно. Отсюда следует, что меридиональная линия должна удовлетворять условию

Оболочка вращения типа эллипсоида может быть вытянута

сколь угодно вдоль оси. При вертикальных касательных к меридиану у опорного контура (оптимальное использование объема здания) наименьшее отношение полуосей z/b составляет для эллипсоида вращения z/b = V2/2=0,7071.

Еще меньшим отношением z/b обладает одноосно напряженный овалоид с уравнением меридиана 2(1 + r'2) — rr'' = 0.

Его решение по С.А. Алексееву:

где F и E — эллиптические интегралы первого и второго рода; тогда при ф = 90° z/b = 0,559l.

По М. Кавагучи (35):

где Г — гамма-функция.

Практическая ценность такого овалоида в том, что отсутствие кольцевых напряжений снижает прочностные требования к меридиональным швам оболочки, которая при действии избыточного давления становится одноосно напряженной.

Составные оболочки — комбинации состыкованных фрагментов оболочек вращения (рис. 2.16.4). Наиболее распространенная схема — цилиндрические своды с цилиндрическими или сферическими торцевыми завершениями. Формы составных оболочек не являются совершенными, так как по линии их стыкования не соблюдаются условия совместности напряжений и деформаций.

Поверхность оболочек сложных форм со сложным контуром (в том числе на неплоском плане в разных уровнях), как правило, математического выражения в замкнутом виде не имеет. Она может быть представлена физической или математической моделью только в том случае, если считать ее равнонапряженной избыточным давлением воздуха р (т. е. испытывающей в любой точке поверхности одинаковые и равные во всех направлениях усилия). Физической моделью такой оболочки служит мыльная пленка, математической — ее дифференциальное выражение как минимальной поверхности, облегающей заданный объем при заданном контуре. Любые отклонения оболочки от найденной таким образом формы приводят к нарушению ее равнонапряженности. Однако они вполне допустимы при соблюдении условий (2.16.1)...(2.16.3).

Оболочки на сложных планах проектируют, используя аналогию с мыльной пленкой, способной перекрывать заданный объем наименьшей поверхностью. При внутреннем давлении она равнонапряжена. Ее можно считать прототипом воздухоопорной оболочки. Существуют два пути нахождения этой формы. Первый состоит в численном решении методом конечных разностей дифференциальных уравнений, описывающих напряженное состояние оболочки. Второй основывается на методе конечных элементов, состоящем в разбиении гладкой поверхности оболочки на ряд плоских или криволинейных (трех- или четырехугольных) элементов с последующим приближением к заданной геометрии оболочки путем сборки этих элементов.

Равнонапряженная поверхность характеризуется соотношением

где r1, r2 — радиусы главных кривизн; р — внутреннее давление; n — напряжение оболочки.

Дифференциальное уравнение поверхности мыльной пленки в частных производных имеет вид

где индексы при Z обозначают дифференцирование по x и у.

Напряжения в любой точке мыльной пленки во всех направлениях одинаковы и равны р/(2Н), где H — средняя кривизна поверхности, равная (1/r1 + 1/r2) /2. После замены дифференциалов разностями выражение (2.16.10) превращается в систему конечно-разностных уравнений, решаемых численными методами, например Гаусса—Зайделя (подробное описание дано в работах К. Ишии применительно к мягким оболочкам:

Форма оболочки, найденная с помощью уравнения мыльной пленки, является первым приближением, которое может быть скорректировано с учетом ряда специфических требований. Она не всегда является оптимальным решением как по функциональному признаку (слишком полога в углах помещений с прямоугольным планом), так и по технологическому (не лучшее использование площади полотнищ, повышенные отходы). Однако форма мыльной пленки, отражая соответствие нагрузке, действующей только в данный момент, т. е. внутреннему давлению воздуха, все же служит хорошей моделью воздухоопорной оболочки. Тем более, что внутреннее давление является постоянной нагрузкой, тогда как все другие воздействия относятся к временным, на период действия которых могут быть допущены возникновение складок и морщин или дополнительные напряжения (разумеется, в допустимых пределах).

Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна