Оптико-механическая аналогия

12.12.2020

Оптико-механическая аналогия — аналогия между описаниями движения материальных частиц в стационарном потенциальном поле в классической механике и распространения движения световых лучей в изотропной оптически неоднородной среде. Была установлена Гамильтоном в 1834 г. В 1926 г. была использована при создании квантовой механики де Бройлем и Шредингером для описания наличия у материальных объектов одновременно корпускулярных и волновых свойств.

Формулировка

Рассмотрим свободную частицу, движущуюся в стационарном потенциальном поле U ( r ) {displaystyle U(r)} . Её функцию действия можно представить в виде S ( r → , t ) = − E t + S 0 ( r → ) {displaystyle S({vec {r}},t)=-Et+S_{0}({vec {r}})} , где "укороченное" действие S 0 ( r → ) {displaystyle S_{0}({vec {r}})} удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби ( ∇ S 0 ) 2 = 2 m [ E − U ( r → ) ] {displaystyle ( abla S_{0})^{2}=2mleft[E-U({vec {r}}) ight]} .

Это уравнение совпадает по форме с известным в геометрической оптике уравнением эйконала: ( ∇ L ) 2 = n 2 ( r → ) {displaystyle ( abla L)^{2}=n^{2}({vec {r}})} , где L {displaystyle L} - так называемый эйконал, n ( r → ) {displaystyle n({vec {r}})} - показатель преломления оптически неоднородной среды, в которой распространяется электромагнитная волна.

Траектория классической частицы совпадает с кривой, описываемой при перемещении поверхности равного действия, одной из её точек. Аналогично этому, световой луч представляет собой кривую, которую описывает при своем перемещении в пространстве какая-нибудь точка поверхности постоянной фазы электромагнитной волны.

Рассмотрим геометрическое место точек пространства, в которых действие классической частицы имеет некоторое постоянное значение S ( r , t ) = − E t + S 0 ( r ) = c o n s t {displaystyle S(r,t)=-Et+S_{0}(r)=const} . Дифференцируя это равенство по времени, получаем: − E + ∇ S 0 d r d l d l d t = 0 {displaystyle -E+ abla S_{0}{frac {dr}{dl}}{frac {dl}{dt}}=0} откуда, учитывая что d r d l = ∇ S 0 | ∇ S 0 | {displaystyle {frac {dr}{dl}}={frac { abla S_{0}}{left| abla S_{0} ight|}}} и ∇ S 0 = p {displaystyle abla S_{0}=p} , следует u = E | ∇ S 0 | = E p = E m v {displaystyle u={frac {E}{left| abla S_{0} ight|}}={frac {E}{p}}={frac {E}{mv}}} .

Аналогично этому, в оптике поверхности равной фазы описываются уравнением k 0 L ( r → ) − ω t = c o n s t {displaystyle k_{0}L({vec {r}})-omega t=const} . Дифференцируя его по времени, получаем скорость распространения фронта электромагнитной волны: d l d t = ω k 0 | ∇ L | = ω k {displaystyle {frac {dl}{dt}}={frac {omega }{k_{0}left| abla L ight|}}={frac {omega }{k}}} .

Сопоставляя формулы, описывающие распространение классических частиц и распространение световых лучей, нетрудно установить аналогию между ними:

Для того, чтобы соответствие между величинами классической механики и оптики было полным, необходимо величины оптики умножить на коэффициент с размерностью действия. В квантовой механике постулируется, что такой величиной является постоянная Планка.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна