Функция Грина для случайно-неоднородной среды

13.12.2020

Главным образом, интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны прошедшей через среду и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь и играет функция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.

Волновое уравнение в случайно неоднородной среде. Функция Грина

Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля u = u ( r , t ) {displaystyle u=u(mathbf {r} ,;t)} . Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей, тогда u = u ( r , t ) {displaystyle u=u(mathbf {r} ,;t)} удовлетворяет волновому уравнению:

ε ( r , t ) c 2 ∂ 2 u ( r , t ) ∂ t 2 − Δ u ( r , t ) = 0 , {displaystyle {frac {varepsilon (mathbf {r} ,;t)}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}u(mathbf {r} ,;t)}{partial t^{2}}}-Delta u(mathbf {r} ,;t)=0,} ε ( r , t ) = ε 0 + δ ε ( r , t ) , {displaystyle varepsilon (mathbf {r} ,;t)=varepsilon _{0}+delta varepsilon (mathbf {r} ,;t),}

где c {displaystyle c} — скорость света в вакууме, ε 0 {displaystyle varepsilon _{0}} — среднее значение диэлектрической проницаемости, δ ε ( r , t ) {displaystyle delta varepsilon (mathbf {r} ,;t)} — флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости ε 0 {displaystyle varepsilon _{0}} предполагается независящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна, также с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и неусреднённая диэлектрическая проницаемость ε ( r , t ) = ε ( r ) {displaystyle varepsilon (mathbf {r} ,;t)=varepsilon (mathbf {r} )} не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядков больше характерных времён электромагнитного поля, поэтому среда как бы «не успевает среагировать» на изменение поля.

Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нём присутствует случайный параметр δ ε ( r ) {displaystyle {delta varepsilon (mathbf {r} )}} . Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.

Описывая рассеяние, интересны характеристики поля u = u ( r , t ) {displaystyle u=u(mathbf {r} ,;t)} , усреднённые по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля ⟨ u ( r , t ) ⟩ {displaystyle langle u(mathbf {r} ,;t) angle } и интенсивность I = I ( r , t ) {displaystyle I=I(mathbf {r} ,;t)} , которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведётся по флуктуациям диэлектрической проницаемости) ⟨ u ( r , t ) 2 ⟩ {displaystyle langle {u(mathbf {r} ,;t)}^{2} angle } . Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усреднённое отклонение от среднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:

⟨ δ ε ( r ) ⟩ = 0. {displaystyle langle delta varepsilon (mathbf {r} ) angle =0.}

Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде u ( r , t ) = 0 {displaystyle u(mathbf {r} ,;t)=0} . Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида:

u ( r , t ) = u 0 exp ⁡ [ i k 0 r − i w t ] . {displaystyle u(mathbf {r} ,;t)=u_{0}exp[imathbf {k_{0}} mathbf {r} -iwt].}

Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем:

− w 2 ε 0 c 2 u ( r , t ) + k 0 2 u ( r , t ) = 0. {displaystyle -{frac {w^{2}varepsilon _{0}}{c^{2}}}u(mathbf {r} ,;t)+k_{0}^{2}u(mathbf {r} ,;t)=0.}

Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны w {displaystyle w} и волновой вектор k 0 {displaystyle k_{0}} связаны дисперсионным соотношением:

k 0 2 = w 2 ε 0 c 2 . {displaystyle k_{0}^{2}={frac {w^{2}varepsilon _{0}}{c^{2}}}.}

Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.

Определим функцию Грина G ( r , t ) {displaystyle G(mathbf {r} ,;t)} . Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения, в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника w {displaystyle w} ). Полагаем, что источник «адиабатически включился в бесконечно далёком прошлом», для этого дополним правую часть множителем exp ⁡ [ α t ] {displaystyle exp[alpha t]} , где α {displaystyle alpha } — малая положительная величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:

ε ( r ) c 2 ∂ 2 G ( r , t ) ∂ t 2 − Δ G ( r , t ) = e − i w t + α t δ ( r ) . {displaystyle {frac {varepsilon (mathbf {r} )}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}G(mathbf {r} ,;t)}{partial t^{2}}}-Delta G(mathbf {r} ,;t)=e^{-iwt+alpha t}delta (mathbf {r} ).}

Удобно искать решение этого уравнения в виде G ( r , t ) = e − i w t + α t G ( r ) {displaystyle G(mathbf {r} ,;t)=e^{-iwt+alpha t}G(mathbf {r} )} . Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:

ε ( r ) G ( r ) c 2 ∂ 2 e − i w t + α t ∂ t 2 − e − i w t + α t Δ G ( r ) = e − i w t + α t δ ( r ) . {displaystyle {frac {varepsilon (mathbf {r} )G(mathbf {r} )}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}e^{-iwt+alpha t}}{partial t^{2}}}-e^{-iwt+alpha t}Delta G(mathbf {r} )=e^{-iwt+alpha t}delta (mathbf {r} ).}

От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель − ( w + i α ) 2 {displaystyle -(w+ialpha )^{2}} , тогда получаем уравнение для функции G ( r ) {displaystyle G(mathbf {r} )} :

− ε ( r ) ( w + i α ) 2 c 2 G ( r ) − Δ G ( r ) = δ ( r ) . {displaystyle {frac {-varepsilon (mathbf {r} )(w+ialpha )^{2}}{c^{2}}}G(mathbf {r} )-Delta G(mathbf {r} )=delta (mathbf {r} ).}

Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости ε ( r ) , {displaystyle varepsilon (mathbf {r} ),} а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям δ ε ( r ) {displaystyle delta varepsilon (mathbf {r} )} . Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение δ ε ( r ) {displaystyle delta varepsilon (mathbf {r} )} малой величиной.

Функция Грина для среды без флуктуаций диэлектрической проницаемости

Для начала необходимо найти функцию Грина G ( r , t ) {displaystyle G(mathbf {r} ,;t)} , отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемости, то есть ε ( r ) = ε 0 {displaystyle varepsilon (mathbf {r} )=varepsilon _{0}} :

Снова ищем решение в виде G 0 ( r , t ) = e − i w t + α t G 0 ( r ) {displaystyle G_{0}(mathbf {r} ,;t)=e^{-iwt+alpha t}G_{0}(mathbf {r} )} . Тогда G 0 ( r ) {displaystyle G_{0}(mathbf {r} )} удовлетворяет уравнению:

где величиной k 0 = ε 0 ( w + i α ) c {displaystyle k_{0}={frac {{sqrt {varepsilon _{0}}}(w+ialpha )}{c}}} . Видно, что у k 0 {displaystyle k_{0}} присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение ( 2 ) {displaystyle (2)} удобно решать с помощью преобразования Фурье вида:

Выражение ( 3 ) {displaystyle (3)} — прямое Фурье-преобразование, F ( k ) {displaystyle F(mathbf {k} )} — Фурье-образ функции F ( r ) {displaystyle F(mathbf {r} )} , выражение ( 4 ) {displaystyle (4)} — обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина G 0 ( r ) {displaystyle G_{0}(mathbf {r} )} будем обозначать через G 0 ( k ) {displaystyle G_{0}(mathbf {k} )} . Применяя Фурье-преобразования к уравнению ( 2 ) {displaystyle (2)} и учитывая, что δ {displaystyle delta } -функция является Фурье-образом единицы, получаем:

Чтобы получить функцию G 0 ( r ) {displaystyle G_{0}(mathbf {r} )} делаем обратное Фурье-преобразование G 0 ( k ) {displaystyle G_{0}(mathbf {k} )} :

Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора r {displaystyle mathbf {r} } (под полярной осью, понимается ось, от которой отсчитывается угол θ {displaystyle heta } ):

G 0 ( r ) = 1 ( 2 π ) 3 ∫ − ∞ ∞ e i k r k 2 − k 0 2 d k = 1 ( 2 π ) 3 ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π sin ⁡ θ d θ ∫ 0 ∞ k 2 e i k r cos ⁡ θ k 2 − k 0 2 d k = {displaystyle G_{0}(mathbf {r} )={frac {1}{(2pi )^{3}}}int limits _{-infty }^{infty }{frac {e^{imathbf {k} mathbf {r} }}{k^{2}-k_{0}^{2}}},dmathbf {k} ={frac {1}{(2pi )^{3}}}int limits _{0}^{2pi },dvarphi int limits _{0}^{pi }sin heta ,d heta int limits _{0}^{infty }k^{2}{frac {e^{ikrcos heta }}{k^{2}-k_{0}^{2}}},dk=} = 2 π 8 π 3 ∫ π 0 d cos ⁡ θ ∫ 0 ∞ k 2 e i k r cos ⁡ θ k 2 − k 0 2 d k = 1 4 π 2 ∫ 0 ∞ k 2 k 2 − k 0 2 [ e i k r cos ⁡ θ i k r cos ⁡ θ ] π 0 d k = {displaystyle ={frac {2pi }{8pi ^{3}}}int limits _{pi }^{0},dcos heta int limits _{0}^{infty }k^{2}{frac {e^{ikrcos heta }}{k^{2}-k_{0}^{2}}},dk={frac {1}{4pi ^{2}}}int limits _{0}^{infty }{frac {k^{2}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}{Bigl [}{frac {e^{ikrcos heta }}{ikrcos heta }}{Bigr ]}_{pi }^{0},dk=} = 1 4 π 2 ∫ 0 ∞ k 2 k 2 − k 0 2 ( e i k r i k r − e − i k r i k r ) d k = 1 4 π 2 i r 1 2 ∫ − ∞ ∞ k ( e i k r − e − i k r ) k 2 − k 0 2 d k = {displaystyle ={frac {1}{4pi ^{2}}}int limits _{0}^{infty }{frac {k^{2}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}{Bigl (}{frac {e^{ikr}}{ikr}}-{frac {e^{-ikr}}{ikr}}{Bigr )},dk={frac {1}{4pi ^{2}ir}}{frac {1}{2}}int limits _{-infty }^{infty }{frac {k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^{2}-k_{0}^{2}}},dk=} = 1 8 π 2 i r ∫ − ∞ ∞ k e i k r k 2 − k 0 2 d k − 1 8 π 2 i r ∫ − ∞ ∞ k e − i k r k 2 − k 0 2 d k = 2 π i e i k 0 r 8 π 2 i r 2 + 2 π i e i k 0 r 8 π 2 i r 2 = e i k 0 r 4 π r . {displaystyle ={frac {1}{8pi ^{2}ir}}int limits _{-infty }^{infty }{frac {ke^{ikr}}{k^{2}-k_{0}^{2}}},dk-{frac {1}{8pi ^{2}ir}}int limits _{-infty }^{infty }{frac {ke^{-ikr}}{k^{2}-k_{0}^{2}}},dk={frac {2pi ie^{ik_{0}r}}{8pi ^{2}ir2}}+{frac {2pi ie^{ik_{0}r}}{8{pi }^{2}ir2}}={frac {e^{i{k_{0}}r}}{4pi r}}.}

Для вычисления интеграла по сферическим координатам, мы воспользовались четностью функции k ( e i k r − e − i k r ) k 2 − k 0 2 {displaystyle {frac {k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^{2}-k_{0}^{2}}}} , а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает e i k r {displaystyle e^{ikr}} , тогда вычет берётся в k = k 0 = ε 0 ( w + i α ) c {displaystyle k=k_{0}={frac {{sqrt {varepsilon _{0}}}(w+ialpha )}{c}}} . Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке k = − k 0 {displaystyle k=-k_{0}} , при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Направление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель ( − 1 ) {displaystyle (-1)} .

Итоговое выражение для функции Грина будет:

G 0 ( r , t ) = e i k 0 r − i w t + α t 4 π r . {displaystyle G_{0}(mathbf {r} ,;t)={frac {e^{ik_{0}r-iwt+alpha t}}{4pi r}}.}

Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как 1 r {displaystyle {frac {1}{r}}} по мере удаления от источника.

Функция Грина с учётом флуктуаций диэлектрической проницаемости

Перепишем уравнение

− ε ( r ) ( w + i α ) 2 c 2 G ( r ) − Δ G ( r ) = δ ( r ) {displaystyle -{frac {varepsilon (mathbf {r} )(w+ialpha )^{2}}{c^{2}}}G(mathbf {r} )-Delta G(mathbf {r} )=delta (mathbf {r} )}

в виде

( − k 0 2 − Δ ) G ( r ) = δ ε ( r ) ε 0 k 0 2 G ( r ) + δ ( r ) . {displaystyle (-k_{0}^{2}-Delta )G(mathbf {r} )={frac {delta varepsilon (mathbf {r} )}{varepsilon _{0}}}k_{0}^{2}G(mathbf {r} )+delta (mathbf {r} ).}

Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать δ ε ( r ) {displaystyle delta varepsilon (mathbf {r} )} малой величиной, удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:

G ( r ) = G 0 ( r ) + k 0 2 ε 0 ∫ G 0 ( r − r 1 ) δ ε ( r 1 ) G ( r 1 ) d r 1 . {displaystyle G(mathbf {r} )=G_{0}(mathbf {r} )+{frac {{k_{0}}^{2}}{varepsilon _{0}}}int G_{0}(mathbf {r} -mathbf {r_{1}} )delta varepsilon (mathbf {r_{1}} )G(mathbf {r_{1}} ),dr_{1}.}

Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:

G ( r ) = G 0 ( r ) + k 0 2 ε 0 ∫ G 0 ( r − r 1 ) δ ε ( r 1 ) G 0 ( r 1 ) d r 1 + {displaystyle G(mathbf {r} )=G_{0}(mathbf {r} )+{frac {k_{0}^{2}}{varepsilon _{0}}}int G_{0}(mathbf {r} -mathbf {r_{1}} )delta varepsilon (mathbf {r_{1}} )G_{0}(mathbf {r_{1}} ),dmathbf {r_{1}} +} + k 0 4 ε 0 2 ∫ G 0 ( r − r 1 ) δ ε ( r 1 ) ∫ G 0 ( r 1 − r 2 ) δ ε ( r 2 ) G 0 ( r 2 ) d r 1 d r 2 + … {displaystyle +{frac {k_{0}^{4}}{varepsilon _{0}^{2}}}int G_{0}(mathbf {r} -mathbf {r_{1}} )delta varepsilon (mathbf {r_{1}} )int G_{0}(mathbf {r_{1}} -mathbf {r_{2}} )delta varepsilon (mathbf {r_{2}} )G_{0}(mathbf {r_{2}} ),dmathbf {r_{1}} ,dmathbf {r_{2}} +ldots }

Величина G ( r ) {displaystyle G(mathbf {r} )} — случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднить по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоёмкий шаг.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна