Диполь (электродинамика)

13.12.2020

Диполь — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего поля на такие системы. Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка.
Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

  • размеры создающей или излучающей поле системы (области, содержащей заряды) малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
  • член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;
  • в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.
  • Типичный и стандартный пример диполя — два заряда, равных по величине и противоположных по знаку, находящихся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением при стремлении расстояния между зарядами к нулю при сохранении произведения величины заряда на расстояния между ними - постоянным (или стремящимся к конечному пределу; эта константа или этот предел будет дипольным моментом такой системы).

    Дипольный момент системы

    Электрический диполь

    Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

    Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

    Произведение вектора l → , {displaystyle {vec {l}},} проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов q , {displaystyle q,,} называется дипольным моментом: d → = q l → . {displaystyle {vec {d}}=q{vec {l}}.}

    Во внешнем электрическом поле E → {displaystyle {vec {E}}} на электрический диполь действует момент сил d → × E → , {displaystyle {vec {d}} imes {vec {E}},} который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

    Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна − E → ⋅ d → . {displaystyle -{vec {E}}cdot {vec {d}}.} (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя - его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

    Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием R {displaystyle R} как R − 3 , {displaystyle R^{-3},} то есть быстрее, чем у точечного заряда ( E ∼ R − 2 {displaystyle Esim R^{-2}} ).

    Дипольное приближение для электростатического поля нейтральной системы

    Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом d → = ∑ i q i r → i , {displaystyle {vec {d}}=sum _{i}q_{i}{vec {r}}_{i},} где q i {displaystyle q_{i}} — заряд i {displaystyle i} -го элемента, r → i {displaystyle {vec {r}}_{i}} — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

    В точечном приближении, поле, создаваемое диполем в точке с радиус-вектором r → {displaystyle {vec {r}}} даётся следующим соотношением:

    E → = 1 4 π ε 0 3 r → ( r → , d → ) − r 2 d → r 5 {displaystyle {vec {E}}={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {3{vec {r}}({vec {r}},{vec {d}})-{r^{2}}{vec {d}}}{r^{5}}}}

    Дипольное приближение для электростатического поля не-нейтральной системы

    Не электрически нейтральная система очевидным образом может быть представлена как сумма (суперпозиция) электрически нейтральной системы и точечного заряда. Для этого достаточно поместить куда-то внутрь системы точечный заряд, противоположный ее суммарному заряду, и в ту же точку еще один точечный заряд, равный ее суммарному заряду. После чего рассматривать первый заряд вместе с остальной системой (ее дипольный момент будет очевидно равен дипольному моменту, вычисленному по формуле, приведенной выше, если за начало координат взять положение добавленного точечного заряда: тогда сам добавленный заряд не войдет в выражение). Второй же точечный заряд даст кулоновское поле.

    То есть, вдалеке от такой системы электростатическое поле, создаваемое ею, в дипольном приближении будет суммой (суперпозицией) кулоновского поля, создаваемого зарядом этой системы Q = ∑ i q i , {displaystyle Q=sum _{i}q_{i},} условно помещенного в некоторую точку внутри системы зарядов, и поля диполя с моментом d → = ∑ i q i r → i , {displaystyle {vec {d}}=sum _{i}q_{i}{vec {r}}_{i},} , где радиус-векторы берутся от положения заряда Q . {displaystyle Q.} Нетрудно показать при этом и что такое поле в дипольном приближении не зависит от произвольно (но обязательно внутри системы зарядов или очень близко к ней) выбранного положения точечного заряда Q , {displaystyle Q,} поскольку поправка в нужном порядке будет компенсироваться изменением вычисленного дипольного момента (ведь перемещение положения заряда Q {displaystyle Q} на некоторое D → {displaystyle {vec {D}}} эквивалентно наложению диполя с моментом Q D → {displaystyle Q{vec {D}}} ).

    Магнитный диполь

    Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» — магнитных монополей. Эта аналогия условна, так как магнитные заряды не обнаружены. В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади S , {displaystyle S,,} по которой течёт ток I . {displaystyle I,.} При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину μ → = I S n → , {displaystyle {vec {mu }}=IS{vec {n}},} где n → {displaystyle {vec {n}}} — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

    Выражения для вращающего момента M → {displaystyle {vec {M}}} , действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного U {displaystyle U} диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент m → {displaystyle {vec {m}}} и вектор магнитной индукции B → {displaystyle {vec {B}}} :

    M → = m → × B → , {displaystyle {vec {M}}={vec {m}} imes {vec {B}},} U = − m → ⋅ B → . {displaystyle U=-{vec {m}}cdot {vec {B}}.}

    Поле колеблющегося диполя

    В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем d ( t ) , {displaystyle mathbf {d} (t),} находящимся в заданной точке пространства.

    Поле на близких расстояниях (ближняя зона)

    Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

    E = 3 n ( n , d ) − d R 3 + 3 n ( n , d ˙ ) − d ˙ c R 2 + n ( n , d ¨ ) − d ¨ c 2 R {displaystyle mathbf {E} ={frac {3mathbf {n} (mathbf {n} ,mathbf {d} )-mathbf {d} }{R^{3}}}+{frac {3mathbf {n} (mathbf {n} ,{dot {mathbf {d} }})-{dot {mathbf {d} }}}{cR^{2}}}+{frac {mathbf {n} (mathbf {n} ,{ddot {mathbf {d} }})-{ddot {mathbf {d} }}}{c^{2}R}}} B = [ d ˙ c R 2 + d ¨ R c 2 , n ] = [ n , E + d R 3 ] , {displaystyle mathbf {B} =left[{frac {dot {mathbf {d} }}{cR^{2}}}+{frac {ddot {mathbf {d} }}{Rc^{2}}},mathbf {n} ight]=left[mathbf {n} ,mathbf {E} +{frac {mathbf {d} }{R^{3}}} ight],}

    где n = R R {displaystyle mathbf {n} ={frac {mathbf {R} }{R}}} — единичный вектор в рассматриваемом направлении, c {displaystyle c} — скорость света.

    Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

    Z = − 1 R ⋅ d ( t − R c ) . {displaystyle mathbf {Z} =-{frac {1}{R}}cdot mathbf {d} left(t-{frac {R}{c}} ight).}

    Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что d {displaystyle mathbf {d} } является функцией одной переменной. Тогда

    E = − rot rot Z , {displaystyle mathbf {E} =-operatorname {rot} ,operatorname {rot} ,mathbf {Z} ,} B = − 1 c rot Z ˙ . {displaystyle mathbf {B} =-{frac {1}{c}}operatorname {rot} ,{dot {mathbf {Z} }}.}

    При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

    A = − Z ˙ c ,     ϕ = div Z . {displaystyle mathbf {A} =-{frac {dot {mathbf {Z} }}{c}},~~phi =operatorname {div} ,mathbf {Z} .}

    Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

    Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)

    Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для E {displaystyle mathbf {E} } и B {displaystyle mathbf {B} } существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от d , {displaystyle mathbf {d} ,} так как

    d ˙ c ≈ d λ , {displaystyle {frac {dot {mathbf {d} }}{c}}approx {frac {d}{lambda }},} d ¨ c 2 ≈ d λ 2 . {displaystyle {frac {ddot {mathbf {d} }}{c^{2}}}approx {frac {d}{lambda ^{2}}}.}

    Выражения для полей в системе СГС принимают вид

    H = 1 c 2 R [ d ¨ , n ] ,     H = [ n , E ] , {displaystyle mathbf {H} ={frac {1}{c^{2}R}}[{ddot {mathbf {d} }},mathbf {n} ],~~mathbf {H} =[mathbf {n} ,mathbf {E} ],} E = 1 c 2 R [ [ d ¨ , n ] , n ] ,     E = [ B , n ] . {displaystyle mathbf {E} ={frac {1}{c^{2}R}}left[[{ddot {mathbf {d} }},mathbf {n} ],mathbf {n} ight],~~mathbf {E} =[mathbf {B} ,mathbf {n} ].}

    В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол d Ω {displaystyle dOmega } равна

    d I = c H 2 4 π R 2 d Ω , {displaystyle dI=c{frac {H^{2}}{4pi }}R^{2}dOmega ,}

    поэтому для дипольного излучения

    d I = 1 4 π c 3 [ d ¨ , n ] 2 d Ω = d ¨ 2 4 π c 3 sin 2 ⁡ θ d Ω . {displaystyle dI={frac {1}{4pi c^{3}}}[{ddot {mathbf {d} }},mathbf {n} ]^{2}dOmega ={frac {{ddot {mathbf {d} }}^{2}}{4pi c^{3}}}sin ^{2}{ heta }dOmega .}

    где θ {displaystyle heta } — угол между векторами d ¨ {displaystyle {ddot {mathbf {d} }}} и n . {displaystyle mathbf {n} .} Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что d Ω = 2 π sin ⁡ θ d θ , {displaystyle dOmega =2pi ,sin { heta },d heta ,} проинтегрируем выражение по d θ {displaystyle d heta } от 0 {displaystyle 0} до π . {displaystyle pi .} Полное излучение равно

    I = 2 3 c 3 d ¨ 2 . {displaystyle I={frac {2}{3c^{3}}}{ddot {mathbf {d} }}^{2}.}

    Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора d ¨ {displaystyle {ddot {mathbf {d} }}} на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,

    d E ω = 4 ω 4 3 c 3 | d ω | 2 d ω 2 π . {displaystyle d{mathcal {E}}_{omega }={frac {4omega ^{4}}{3c^{3}}}left|mathbf {d} _{omega } ight|^{2}{frac {domega }{2pi }}.}

    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий:
    Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
    При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна