Объединение множеств

Объединение множеств (тж. сумма или соединение) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A {displaystyle A} и B {displaystyle B} обычно обозначается A {displaystyle A} ∪ B {displaystyle B} , но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B {displaystyle A+B} .

Определения

Объединение двух множеств

Пусть даны два множества A {displaystyle A} и B {displaystyle B} . Тогда их объединением называется множество

Объединение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств { M α } α ∈ A . {displaystyle {M_{alpha }}_{alpha in A}.} Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

Свойства

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2 X ; {displaystyle 2^{X};}
• Операция объединения множеств коммутативна: A ∪ B = B ∪ A ; {displaystyle Acup B=Bcup A;}
• Операция объединения множеств ассоциативна: ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ; {displaystyle (Acup B)cup C=Acup (Bcup C);}
• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения: ( ⋂ k A k ) ∪ B = ⋂ k ( A k ∪ B ) {displaystyle left(igcap _{k}A_{k} ight)cup B=igcap _{k}left(A_{k}cup B ight)}
• Пустое множество X {displaystyle X} является нейтральным элементом операции объединения множеств: A ∪ ∅ = A ; {displaystyle Acup emptyset =A;}
• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна: A ∪ A = A . {displaystyle Acup A=A.}

Примеры

• Пусть A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } . {displaystyle A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8}.} Тогда

• ⋃ n ∈ Z [ n , n + 1 ] = R . {displaystyle igcup limits _{nin mathbb {Z} }[n,n+1]=mathbb {R} .}