Теорема Кронекера — Капелли

14.12.2020

Теорема Кронекера — Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Доказана Леопольдом Кронекером, Альфредо Капелли.

Пояснения

Система уравнений A x = B {displaystyle Ax=B} разрешима тогда и только тогда, когда rang ⁡ A = rang ⁡ ( A | B ) {displaystyle operatorname {rang} A=operatorname {rang} (A|B)} , где ( A | B ) {displaystyle (A|B)} — расширенная матрица, полученная из матрицы A {displaystyle A} приписыванием столбца B {displaystyle B} .

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа x 1 , … , x n ∈ R {displaystyle x_{1},dots ,x_{n}in mathbb {R} } такие, что b = x 1 a 1 + ⋯ + x n a n {displaystyle b=x_{1}a_{1}+dots +x_{n}a_{n}} . Следовательно, столбец b {displaystyle b} является линейной комбинацией столбцов a 1 , … , a n {displaystyle a_{1},dots ,a_{n}} матрицы A {displaystyle A} . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что rang ⁡ A = rang ⁡ A | B {displaystyle operatorname {rang} A=operatorname {rang} A|B} .

Достаточность

Пусть rang ⁡ A = rang ⁡ A | B = r {displaystyle operatorname {rang} A=operatorname {rang} A|B=r} . Возьмём в матрице A {displaystyle A} какой-нибудь базисный минор. Так как rang ⁡ A | B = r {displaystyle operatorname {rang} A|B=r} , то он же будет базисным минором и матрицы A | B {displaystyle A|B} . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы A | B {displaystyle A|B} будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A {displaystyle A} . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A {displaystyle A} .

Следствия

  • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
  • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна