Теория Галуа

Теория Галуа — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

Приложения

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

Симметрии корней

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение

У многочлена второй степени a x 2 + b x + c {displaystyle ax^{2}+bx+c} имеются два корня x 1 {displaystyle x_{1}} и x 2 {displaystyle x_{2}} , симметричных относительно точки x = − b / ( 2 a ) {displaystyle x=-b/(2a)} . Возможны два варианта:

• Если эти корни рациональны, то уравнению x − x 1 = 0 {displaystyle x-x_{1}=0} удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
• Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент x 1 ⇔ x 2 {displaystyle x_{1}Leftrightarrow x_{2}} и изоморфна Z / 2 Z {displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} } .

Более сложный пример

Рассмотрим теперь многочлен ( x 2 − 5 ) 2 − 24 {displaystyle (x^{2}-5)^{2}-24} .

Его корни: a = 2 + 3 ,   b = 2 − 3 ,   c = − 2 + 3 ,   d = − 2 − 3 {displaystyle a={sqrt {2}}+{sqrt {3}}, b={sqrt {2}}-{sqrt {3}}, c=-{sqrt {2}}+{sqrt {3}}, d=-{sqrt {2}}-{sqrt {3}}} .

Существует 4 ! = 24 {displaystyle 4!=24} различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — a + d = 0 {displaystyle a+d=0} . Поскольку a + c ≠ 0 {displaystyle a+c eq 0} , перестановка a → a ,   b → b ,   c → d ,   d → c {displaystyle a o a, b o b, c o d, d o c} не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что ( a + b ) 2 = 8 {displaystyle (a+b)^{2}=8} , но ( a + c ) 2 = 12 {displaystyle (a+c)^{2}=12} . Поэтому перестановка a → a ,   b → c ,   c → b ,   d → d {displaystyle a o a, b o c, c o b, d o d} не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

и является четверной группой Клейна, изоморфной ( Z / 2 Z ) × ( Z / 2 Z ) {displaystyle (mathbb {Z} /2mathbb {Z} ) imes (mathbb {Z} /2mathbb {Z} )} .

Формулировка в терминах теории полей

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения L ⊃ K {displaystyle Lsupset K} . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения Q ( 2 , 3 ) ⊃ Q {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}})supset mathbb {Q} } .

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах

Решения полиномиального уравнения P ( x ) = 0 {displaystyle P(x)=0} выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде разрешима.

Для любого n {displaystyle n} существует уравнение n {displaystyle n} -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе S n {displaystyle S_{n}} , то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы S n {displaystyle S_{n}} при n > 4 {displaystyle n>4} не являются разрешимыми, существуют многочлены степени n {displaystyle n} , корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини.

Вариации и обобщения

• Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов).
  • В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств тензорных произведений полей.