Аксиомы отделимости

15.12.2020

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространства. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T0, T1, T2, T3, T3½, T4 (от нем. Trennungsaxiom); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R0, R1, T2½, T5, T6 и другие).

T0 (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек x {displaystyle x} и y {displaystyle y} по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T1 (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек x {displaystyle x} и y {displaystyle y} должна существовать окрестность точки x {displaystyle x} , не содержащая точку y {displaystyle y} , и окрестность точки y {displaystyle y} , не содержащая точку x {displaystyle x} . Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T2 (аксиома Хаусдорфа, хаусдорфово пространство): для любых двух различных точек x {displaystyle x} и y {displaystyle y} должны найтись непересекающиеся окрестности U ( x ) {displaystyle U(x)} и V ( y ) {displaystyle V(y)} .

T3: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любой точки x {displaystyle x} и её окрестности U {displaystyle U} существует окрестность V {displaystyle V} , такая, что x ∈ V ⊂ V ¯ ⊂ U {displaystyle xin Vsubset {ar {V}}subset U} . Иногда в определение аксиомы отделимости T3 включают требования аксиомы отделимости T1. Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T1. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3.

T3½: для любого замкнутого множества F {displaystyle F} и не содержащейся в нём точки a {displaystyle a} существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция f ( x ) {displaystyle f(x)} , заданная на этом пространстве, принимающая значения от 0 {displaystyle 0} до 1 {displaystyle 1} на всем пространстве, причем f ( a ) = 0 {displaystyle f(a)=0} и f ( x ) = 1 {displaystyle f(x)=1} для всех x {displaystyle x} , принадлежащих F {displaystyle F} . Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T1 включают в определение T3½, а в определении вполне регулярного пространства не включает требование аксиомы T1 (тогда в определение тихоновского пространства она включается.

T4: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное. условие: для любого замкнутого множества F {displaystyle F} и его окрестности U {displaystyle U} существует окрестность V {displaystyle V} , такая, что F ⊂ V ⊂ V ¯ ⊂ U {displaystyle Fsubset Vsubset {ar {V}}subset U} ( V ¯ {displaystyle {ar {V}}} — замыкание V {displaystyle V} ). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T1 и T4. Иногда в определение T4 включают требование выполнения T1, а в определении нормального пространства не включается требование T1.

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

  • T 0 {displaystyle T_{0}} , T 1 {displaystyle T_{1}} и T 2 {displaystyle T_{2}} не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома T 1 {displaystyle T_{1}} );
  • из T 1 {displaystyle T_{1}} следует T 0 {displaystyle T_{0}} ;
  • регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
  • вполне регулярные пространства являются регулярными;
  • нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
  • компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна