Метод суперпозиции

Метод суперпозиции — метод решения краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений путём преобразования в задачу Коши.

Описание метода

Основная идея метода суперпозиции заключается в преобразовании граничной задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к двум или нескольким задачам Коши, которые можно решить одним из методов решения задач Коши, например методом Рунге-Кутта. Это преобразование осуществляется путём представления искомого решения x ( t ) {displaystyle x(t)} в виде линейной суммы x ( t ) = x 1 ( t ) + C 1 x 2 ( t ) + . . . + C N x N ( t ) {displaystyle x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)+...+C_{N}x_{N}(t)} нескольких функций x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , . . . x N ( t ) {displaystyle x_{1}(t),x_{2}(t),...x_{N}(t)} , включающей столько неизвестных констант C 1 , . . . , C N {displaystyle C_{1},...,C_{N}} , сколько недостаёт начальных условий для приведения к задаче Коши. Затем это представление x ( t ) {displaystyle x(t)} подставляется в исходное дифференциальное уравнение и в результате получаем систему из N + 1 {displaystyle N+1} дифференциальных уравнений. При подстановке представления в условия для границ даёт возможность вычислить начальные условия задачи Коши и неизвестные константы C 1 , . . . , C N {displaystyle C_{1},...,C_{N}} .

Пример

Рассмотрим краевую задачу, определяемую линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

f ( t , x , d x d t , d 2 d t 2 ) = r ( t ) {displaystyle f(t,x,{frac {dx}{dt}},{frac {d^{2}}{dt^{2}}})=r(t)} (1)

и граничными условиями

x ( 0 ) = x 0 , x ( 1 ) = x 1 {displaystyle x(0)=x_{0},x(1)=x_{1}} (2).

Для приведения краевой задачи к задаче Коши недостаёт одного условия, поэтому представим решение в виде

x ( t ) = x 1 ( t ) + C 1 x 2 ( t ) {displaystyle x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)} (3)

с одной неизвестной константой C 1 {displaystyle C_{1}} .

Подставив это разложение в (1) получаем:

[ f ( t , x 1 , d x 1 d t , d 2 x 1 d t 2 ) − r ( t ) ] + C 1 [ f ( t , x 2 , d x 2 d t , d 2 x 2 d t 2 ) ] = 0 {displaystyle [f(t,x_{1},{frac {dx_{1}}{dt}},{frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}})-r(t)]+C_{1}[f(t,x_{2},{frac {dx_{2}}{dt}},{frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}})]=0}

В этом уравнении оба слагаемых должны быть равны нулю.

f ( t , x 1 , d x 1 d t , d 2 x 1 d t 2 ) = r ( t ) {displaystyle f(t,x_{1},{frac {dx_{1}}{dt}},{frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}})=r(t)} (4)

f ( t , x 2 , d x 2 d t , d 2 x 2 d t 2 ) = 0 {displaystyle f(t,x_{2},{frac {dx_{2}}{dt}},{frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}})=0} (5)

Первое граничное условие в (2) принимает вид:

x 1 ( 0 ) + C 1 x 2 ( 0 ) = x 0 {displaystyle x_{1}(0)+C_{1}x_{2}(0)=x_{0}} ,

отсюда вытекает:

x 1 ( 0 ) = x 0 , x 2 ( 0 ) = 0 {displaystyle x_{1}(0)=x_{0},x_{2}(0)=0} (6 a, b)

Начальные условия для производной найдем путём дифференцирования (3) в точке 0:

d x ( 0 ) d t = d x 1 ( 0 ) d t + C 1 d x 2 ( 0 ) d t {displaystyle {frac {dx(0)}{dt}}={frac {dx_{1}(0)}{dt}}+C_{1}{frac {dx_{2}(0)}{dt}}} (7)

Граничные условия для производной можно положить:

d x 1 ( 0 ) d t = 0 , d x 2 ( 0 ) d t = 1 {displaystyle {frac {dx_{1}(0)}{dt}}=0,{frac {dx_{2}(0)}{dt}}=1} (8 a, b)

Из (6) получаем:

d x ( 0 ) d t = C 1 {displaystyle {frac {dx(0)}{dt}}=C_{1}} (9)

Граничное условие во второй точке имеет вид:

x 1 ( 1 ) + C 1 x 2 ( 1 ) = x 1 {displaystyle x_{1}(1)+C_{1}x_{2}(1)=x_{1}}

Из этого уравнения получаем:

C 1 = [ x 1 − x 1 ( 1 ) ] x 2 ( 1 ) {displaystyle C_{1}={frac {[x_{1}-x_{1}(1)]}{x_{2}(1)}}} . (10)

Итак, мы получили все начальные данные для задачи Коши. Граничная задача (1), (2) решается следующим образом: