Бесконечная группа

Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам.

Топологические группы

Бесконечные группы часто предполагаются топологическими — то есть снабжёнными топологией, согласованной с операциями умножения и взятия обратного элемента. В таком случае можно выделить два противоположных подкласса групп — дискретные группы и связные группы. Примером дискретной бесконечной группы является бесконечная циклическая группа Z {displaystyle mathbb {Z} } с естественной, то есть дискретной, топологией. Примером связной бесконечной группы является R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} ( C n {displaystyle mathbb {C} ^{n}} ) — конечномерное векторное пространство на вещественными (или комплексными) числами.

При этом «дискретная часть» топологической группы — то есть группа её компонент связности — является дискретной (не обязательно бесконечной) группой, в то время как её «непрерывная часть» — компонента связности единицы группы — является связной (и также не обязательно бесконечной) группой. Сама группа не полностью определяется «дискретной» и «непрерывной» компонентами, а именно не обязательно является их прямым произведением. Например, группа рациональных чисел вполне несвязна, а потому её «непрерывная часть» тривиальна, но группа не изоморфна своей «дискретной части» — счётна, но не дискретна. Аналогичным свойством обладает любая проконечная группа.

Группы Ли

Часто используемый класс бесконечных топологических групп — это группы Ли размерности больше 0. Нестрого говоря, это группы, локально выглядящие как конечномерное вещественное (или комплексное) векторное пространство (размерности больше 0). Строгое определение использует понятие гладкого или алгебраического многообразия: на группе должна быть введена структура такого многообразия, так что операции умножения и взятия обратного элемента согласованы с этой структурой.

Примеры групп Ли (и гладких, и алгебраических одновременно) — это общая линейная группа G L n ( R ) {displaystyle GL_{n}(mathbb {R} )} , то есть группа вещественных матриц n {displaystyle n} на n {displaystyle n} с ненулевым определителем, и её подгруппа специальная ортогональная группа S O n ( R ) {displaystyle SO_{n}(mathbb {R} )} , состоящая из ортогональных матриц с определителем 1.

При этом «дискретная часть» группы Ли (группа её компонент связности), обязательно конечна, в то время как «непрерывная часть» (компонента связности единицы) группы Ли размерности больше 0, напротив, бесконечна. Тем не менее, группа Ли не обязательно является их полупрямым произведением.

С физической точки зрения

Элементы многих бесконечных групп, встречающихся в физике, нумеруются вещественными параметрами, изменяющимися непрерывно. Каждый элемент g n-параметрической бесконечной группы можно записать в виде: g ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n ) {displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})} , где x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}} — n вещественных чисел. Для бесконечной группы отсутствует таблица Кэли. Если g ( x ) g ( y ) = g ( z ) {displaystyle g(x)g(y)=g(z)} , то n параметров z 1 , z 2 , z 3 , . . . , z n {displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{n}} являются функциями от параметров x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n , y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n , {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},y_{1},y_{2},y_{3},...,y_{n},} . Таким образом, аналогом таблицы Кэли для бесконечной группы является набор из n вещественных функций, каждая из которых зависит от 2n вещественных переменных z = f ( x , y ) {displaystyle z=f(x,y)} . Элементы бесконечной группы должны удовлетворять четырём обычным условиям принадлежности к группе:

Из требования (2), выраженного через функции f(x, y), следует, что равенство f ( f ( x , y ) , z ) = f ( x , f ( y , z ) ) {displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))} выполняется для всех x, y, z.

Например, преобразования Лоренца образуют бесконечную группу. Элементы этой группы нумеруются вещественным параметром - скоростью инерциальной системы отсчёта. Произведение двух преобразований Лоренца с параметрами u 1 {displaystyle u_{1}} и u 2 {displaystyle u_{2}} есть преобразование Лоренца с параметром u = u 1 + u 2 1 + u 1 u 2 c 2 {displaystyle u={frac {u_{1}+u_{2}}{1+{frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}} - релятивистский закон сложения скоростей.

Вращения твёрдого тела вокруг всевозможных осей, проходящих через некоторую фиксированную точку, образуют бесконечную группу вращений. Элементы этой группы C k ( φ ) {displaystyle C_{k}left(varphi ight)} нумеруются набором вещественных чисел - углами Эйлера.