Евклидова геометрия

17.12.2020

Евклидова геометрия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).

Основные сведения

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. К элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.

Аксиоматика

Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

В «Началах» Евклида была дана следующая система аксиом:

  • От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
  • Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
  • Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
  • Все прямые углы равны между собой.
  • Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.
  • Эта система была достаточна для того, чтобы один математик понял другого, но в доказательствах неявно использовались и другие интуитивно очевидные утверждения, в частности так называемая теорема Паша, которая не может быть выведена из постулатов Евклида.

    В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.

    Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:

    • аксиоматика Александрова;
    • аксиоматика Биргофа, содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие;
    • аксиоматика Тарского.

    Системы обозначений

    Существует несколько конкурирующих систем обозначений.

    • Точки обычно обозначаются прописными латинскими буквами A , B , C , … {displaystyle A,B,C,dots } .
    • Прямые обычно обозначаются строчными латинскими буквами a , b , c , … {displaystyle a,b,c,dots } .
    • Расстояние между точками P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} обычно обозначается P Q {displaystyle PQ} или | P Q | {displaystyle |PQ|} .
    • Отрезок между точками P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} обычно обозначается [ P Q ] {displaystyle [PQ]} или P Q ¯ {displaystyle {overline {PQ}}} .
    • Луч из точки P {displaystyle P} через точку Q {displaystyle Q} обычно обозначается [ P Q ) {displaystyle [PQ)} или P Q → {displaystyle {overrightarrow {PQ}}} .
    • Прямая через точки P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} обычно обозначается ( P Q ) {displaystyle (PQ)} или P Q ↔ {displaystyle {overleftrightarrow {PQ}}} .
    • Треугольник с вершинами P {displaystyle P} , Q {displaystyle Q} и R {displaystyle R} обычно обозначается △ P Q R {displaystyle riangle PQR} или [ P Q R ] {displaystyle [PQR]} .
    • Площадь фигуры F {displaystyle F} обычно обозначается S ( F ) {displaystyle S(F)} или | F | {displaystyle |F|} .
    • Угол, образованный лучами [ O P ) {displaystyle [OP)} и [ O Q ) {displaystyle [OQ)} , обычно обозначается ∠ P O Q {displaystyle angle POQ} .
    • Величина угла ∠ P O Q {displaystyle angle POQ} обычно обозначается ∡ P O Q {displaystyle measuredangle POQ} .
      • При этом для краткости величина угла часто обозначается строчной греческой буквой α , β , γ , … {displaystyle alpha ,eta ,gamma ,dots } .


    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий:
    Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
    При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна