Октаэдральное число

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел:

O n = Π n − 1 ( 4 ) + Π n ( 4 ) {displaystyle O_{n}=Pi _{n-1}^{(4)}+Pi _{n}^{(4)}}

Общая формула для n {displaystyle n} -го по порядку октаэдрального числа O n {displaystyle O_{n}} :

O n = n ( 2 n 2 + 1 ) 3 {displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) over 3}}

Первые из октаэдральных чисел (последовательность A005900 в OEIS):

1 , 6 , 19 , 44 , 85 , 146 , 231 , 344 , 489 , 670 … {displaystyle 1,6,19,44,85,146,231,344,489,670dots }

Рекуррентная формула:

O n + 1 = O n + ( n + 1 ) 2 + n ; O ( 1 ) = 1 {displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;quad O(1)=1}

Производящая функция последовательности:

x ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) 4 = ∑ n = 1 ∞ O n x n = x + 6 x 2 + 19 x 3 + ⋯ ; | x | < 1 {displaystyle {frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=sum _{n=1}^{infty }O_{n}x^{n}=x+6x^{2}+19x^{3}+cdots ;quad |x|<1}

Связь с фигурными числами других типов

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами T n {displaystyle mathbb {T} _{n}} :

O n + 4 T n − 1 = T 2 n − 1 {displaystyle O_{n}+4mathbb {T} _{n-1}=mathbb {T} _{2n-1}}

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи:

O n = T n + 2 T n − 1 + T n − 2 {displaystyle O_{n}=mathbb {T} _{n}+2mathbb {T} _{n-1}+mathbb {T} _{n-2}}

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами:

O n + 2 T n − 1 = n 3 {displaystyle O_{n}+2mathbb {T} _{n-1}=n^{3}}

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число:

O n + 1 − O n = C n + 1 4 = ( n + 1 ) 2 + n 2 {displaystyle O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2}}

Гипотеза Поллока

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение, что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

• 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
• 11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых;
• 65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых.

Применение

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»).