Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера

19.12.2020

Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера, АДМ-формализм (англ. ADM formalism) — разработанная в 1959 году Ричардом Арновиттом, Стенли Дезером и Чарльзом Мизнером гамильтонова формулировка общей теории относительности. Она играет важную роль в квантовой гравитации и численной относительности.

Основной обзор формализма под названием «Динамика общей теории относительности» (англ. The Dynamics of General Relativity) был опубликован его авторами в сборнике «Gravitation: An introduction to current research» под редакцией Луиса Виттена, Wiley NY (1962); chapter 7, pp. 227–265, русский перевод был опубликован в 1967 году в Эйнштейновском сборнике. Эта статья была в 2008 году перепечатана в журнале General Relativity and Gravitation в серии классических работ по гравитации Исходные работы авторов выходили в Physical Review.

Обзор

Формализм предполагает, что пространство-время можно расслоить на совокупность пространственноподобных 3-мерных гиперповерхностей Σ t {displaystyle Sigma _{t}} , которые нумеруются при помощи временной координаты t {displaystyle t} , а на каждой гиперповерхности вводятся пространственные координаты x i {displaystyle x^{i}} . Динамическими переменными формализма оказываются в таком случае: метрический тензор на этих гиперповерхностях γ i j ( t , x k ) {displaystyle gamma _{ij}(t,x^{k})} и сопряжённый с ним тензор канонических импульсов π i j ( t , x k ) {displaystyle pi ^{ij}(t,x^{k})} . Из этих переменных выражается гамильтониан, соответствующий уравнениям Эйнштейна, и таким образом, уравнения движения общей теории относительности оказываются записанными в гамильтоновой форме.

Кроме 12 переменных γ i j {displaystyle gamma _{ij}} и π i j {displaystyle pi ^{ij}} (трёхмерные симметричные тензоры содержат по 6 компонент), в формализме присутствуют 4 лагранжевых множителя: функции хода (англ. the lapse function) N {displaystyle N} , и функции сдвига — компоненты 3-вектора (англ. shift vector field) N i {displaystyle N_{i}} . Они описывают, как точки x i = c o n s t {displaystyle x^{i}=const} на соседних слоях Σ t , t = c o n s t {displaystyle Sigma _{t},t=const} связаны между собой. Уравнения движения для этих переменных можно выбрать произвольно, что соответствует свободе выбора координатной системы для описания пространства-времени.

Вывод

Обозначения

Большинство литературы применяет обозначения, в которых четырёхмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации, причём греческие индексы являются пространственно-временными и принимают значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы являются пространственными и принимают значения (1, 2, 3). В выводе пространственно-временные объекты, которые имеют также и трёхмерные аналоги, будут для различения обозначаться предшествующим верхним индексом (4), например, метрический тензор на трёхмерном слое будет обозначаться g i j {displaystyle g_{ij}} , а полная пространственно-временная метрика будет обозначаться как ( 4 ) g μ ν {displaystyle {^{(4)}}g_{mu u }} .




Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна