Двенадцатиугольник

19.12.2020

Двенадцатиугольник, додекагон (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

A = 3 cos ⁡ ( π 12 ) a 2 = 3 ( 2 + 3 ) a 2 ≃ 11.19615242 a 2 . {displaystyle {egin{aligned}A&=3cos left({frac {pi }{12}} ight)a^{2}=3left(2+{sqrt {3}} ight)a^{2}&simeq 11.19615242,a^{2}.end{aligned}}}

Или, при радиусе описанной окружности R:

A = 6 sin ⁡ ( π 6 ) R 2 = 3 R 2 . {displaystyle A=6sin left({frac {pi }{6}} ight)R^{2}=3R^{2}.}

Или, при радиусе вписанной окружности r:

A = 12 tan ⁡ ( π 12 ) r 2 = 12 ( 2 − 3 ) r 2 ≃ 3.2153903 r 2 . {displaystyle {egin{aligned}A&=12 an left({frac {pi }{12}} ight)r^{2}=12left(2-{sqrt {3}} ight)r^{2}&simeq 3.2153903,r^{2}.end{aligned}}}

Монеты

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2 m {displaystyle 2m} -угольник (в общем случае - 2 m {displaystyle 2m} -угольный зоногон) можно разбить на m ( m − 1 ) 2 {displaystyle {frac {m(m-1)}{2}}} ромбов. Для двенадцатиугольника m = 6 {displaystyle m=6} , так что он может быть разбит на 15 ромбов.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна