Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

14.01.2021

Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.

Формулировки

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {displaystyle {frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}

Замечания

  • В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
  • Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Доказательство в случае не параллельных прямых

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {displaystyle AB=CD} .

  • Проведём через точки A {displaystyle A} и C {displaystyle C} прямые, параллельные другой стороне угла. A B 2 B 1 A 1 {displaystyle AB_{2}B_{1}A_{1}} и C D 2 D 1 C 1 {displaystyle CD_{2}D_{1}C_{1}} . Согласно свойству параллелограмма: A B 2 = A 1 B 1 {displaystyle AB_{2}=A_{1}B_{1}} и C D 2 = C 1 D 1 {displaystyle CD_{2}=C_{1}D_{1}} .
  • Треугольники △ A B B 2 {displaystyle igtriangleup ABB_{2}} и △ C D D 2 {displaystyle igtriangleup CDD_{2}} равны на основании второго признака равенства треугольников
  • Доказательство в случае параллельных прямых

    Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■

    История

    Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому; по легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки измеряемой высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «Элементах Евклида» (предложение 2 книги VI).

    Вариации и обобщения

    Обратная теорема

    Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

    Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {displaystyle {frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||ldots } .

    Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

    Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

    Лемма Соллертинского

    Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:

    В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

    Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

    Теорема Фалеса в культуре

    Аргентинская комедийная музыкальная группа Les Luthiers представила песню, посвящённую теореме.



    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий:
    Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
    При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна