Гиперболические функции

18.07.2021

Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:
sh ⁡ x = e x − e − x 2 {displaystyle operatorname {sh} x={frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}

(в англоязычной литературе обозначается sinh ⁡ x {displaystyle sinh x} )

  • гиперболический косинус:
ch ⁡ x = e x + e − x 2 {displaystyle operatorname {ch} x={frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}

(в англоязычной литературе обозначается cosh ⁡ x {displaystyle cosh x} )

  • гиперболический тангенс:
th ⁡ x = sh ⁡ x ch ⁡ x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {displaystyle operatorname {th} x={frac {operatorname {sh} x}{operatorname {ch} x}}={frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}

(в англоязычной литературе обозначается tanh ⁡ x {displaystyle anh x} )

  • гиперболический котангенс:
cth ⁡ x = 1 th ⁡ x = ch ⁡ x sh ⁡ x = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 {displaystyle operatorname {cth} x={frac {1}{operatorname {th} x}}={frac {operatorname {ch} x}{operatorname {sh} x}}={frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}

(в англоязычной литературе обозначается coth ⁡ x {displaystyle coth x} )

  • гиперболический секанс:
sch ⁡ x = 1 ch ⁡ x = 2 e x + e − x {displaystyle operatorname {sch} x={frac {1}{operatorname {ch} x}}={frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}

Гиперболический секанс иногда также обозначается как sech ⁡ x {displaystyle operatorname {sech} x} .

  • гиперболический косеканс:
csch ⁡ x = 1 sh ⁡ x = 2 e x − e − x {displaystyle operatorname {csch} x={frac {1}{operatorname {sh} x}}={frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}

Геометрическое определение

Ввиду соотношения ch 2 ⁡ t − sh 2 ⁡ t = 1 {displaystyle operatorname {ch} ^{2}t-operatorname {sh} ^{2}t=1} гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x 2 − y 2 = 1 {displaystyle x^{2}-y^{2}=1} ( x = ch ⁡ t {displaystyle x=operatorname {ch} t} , y = sh ⁡ t {displaystyle y=operatorname {sh} t} ). При этом аргумент t = 2 S {displaystyle t=2S} , где S {displaystyle S} — площадь криволинейного треугольника O Q R {displaystyle OQR} , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси O X {displaystyle OX} , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: x = t , y = f ( t ) {displaystyle x=t,y=f(t)} , где f ( t ) {displaystyle f(t)} — ордината точки гиперболы, соответствующей площади t = 2 S {displaystyle t=2S} . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

sh ⁡ x = − i sin ⁡ ( i x ) , ch ⁡ x = cos ⁡ ( i x ) , th ⁡ x = − i tg ⁡ ( i x ) {displaystyle operatorname {sh} x=-isin(ix),quad operatorname {ch} x=cos(ix),quad operatorname {th} x=-ioperatorname {tg} (ix)} .

sh ⁡ ( i x ) = i sin ⁡ x , ch ⁡ ( i x ) = cos ⁡ x , th ⁡ ( i x ) = i tg ⁡ x {displaystyle operatorname {sh} (ix)=isin x,quad operatorname {ch} (ix)=cos x,quad operatorname {th} (ix)=ioperatorname {tg} x} .

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношения

  • ch 2 ⁡ x − sh 2 ⁡ x = 1. {displaystyle operatorname {ch} ^{2}x-operatorname {sh} ^{2}x=1.}
  • Доказательство

    ch 2 ⁡ x − sh 2 ⁡ x = ( e x + e − x 2 ) 2 − ( e x − e − x 2 ) 2 = ( e x + e − x ) 2 − ( e x − e − x ) 2 4 = e 2 x + 2 + e − 2 x − e 2 x + 2 − e − 2 x 4 = 2 + 2 4 = 1 {displaystyle operatorname {ch} ^{2}x-operatorname {sh} ^{2}x=left({frac {e^{x}+e^{-x}}{2}} ight)^{2}-left({frac {e^{x}-e^{-x}}{2}} ight)^{2}={frac {(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={frac {e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={frac {2+2}{4}}=1}

  • Чётность/нечётность:
  • sh ⁡ ( − x ) = − sh ⁡ x . {displaystyle operatorname {sh} (-x)=-operatorname {sh} x.}
  • ch ⁡ ( − x ) = ch ⁡ x . {displaystyle operatorname {ch} (-x)=operatorname {ch} x.}
  • th ⁡ ( − x ) = − th ⁡ x . {displaystyle operatorname {th} (-x)=-operatorname {th} x.}
  • cth ⁡ ( − x ) = − cth ⁡ x . {displaystyle operatorname {cth} (-x)=-operatorname {cth} x.}
  • sch ⁡ ( − x ) = sch ⁡ x . {displaystyle operatorname {sch} (-x)=operatorname {sch} x.}
  • csch ⁡ ( − x ) = − csch ⁡ x . {displaystyle operatorname {csch} (-x)=-operatorname {csch} x.}
  • Формулы сложения:
  • sh ⁡ ( x ± y ) = sh ⁡ x ch ⁡ y ± sh ⁡ y ch ⁡ x . {displaystyle operatorname {sh} (xpm y)=operatorname {sh} x,operatorname {ch} ypm operatorname {sh} y,operatorname {ch} x.}
  • ch ⁡ ( x ± y ) = ch ⁡ x ch ⁡ y ± sh ⁡ y sh ⁡ x . {displaystyle operatorname {ch} (xpm y)=operatorname {ch} x,operatorname {ch} ypm operatorname {sh} y,operatorname {sh} x.}
  • th ⁡ ( x ± y ) = th ⁡ x ± th ⁡ y 1 ± th ⁡ x th ⁡ y . {displaystyle operatorname {th} (xpm y)={frac {operatorname {th} xpm operatorname {th} y}{1pm operatorname {th} x,operatorname {th} y}}.}
  • cth ⁡ ( x ± y ) = 1 ± cth ⁡ x cth ⁡ y cth ⁡ x ± cth ⁡ y . {displaystyle operatorname {cth} (xpm y)={frac {1pm operatorname {cth} x,operatorname {cth} y}{operatorname {cth} xpm operatorname {cth} y}}.}
  • Формулы двойного угла:
  • sh ⁡ 2 x = 2 ch ⁡ x sh ⁡ x = 2 th ⁡ x 1 − th 2 ⁡ x . {displaystyle operatorname {sh} 2x=2operatorname {ch} x,operatorname {sh} x={frac {2,operatorname {th} x}{1-operatorname {th} ^{2}x}}.}
  • ch ⁡ 2 x = ch 2 ⁡ x + sh 2 ⁡ x = 2 ch 2 ⁡ x − 1 = 1 + 2 sh 2 ⁡ x = 1 + th 2 ⁡ x 1 − th 2 ⁡ x . {displaystyle operatorname {ch} 2x=operatorname {ch} ^{2}x+operatorname {sh} ^{2}x=2operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2operatorname {sh} ^{2}x={frac {1+operatorname {th} ^{2}x}{1-operatorname {th} ^{2}x}}.}
  • th ⁡ 2 x = 2 th ⁡ x 1 + th 2 ⁡ x . {displaystyle operatorname {th} 2x={frac {2operatorname {th} x}{1+operatorname {th} ^{2}x}}.}
  • cth ⁡ 2 x = 1 2 ( th ⁡ x + cth ⁡ x ) . {displaystyle operatorname {cth} 2x={frac {1}{2}}(operatorname {th} x+operatorname {cth} x).}
  • th ⁡ x = ch ⁡ 2 x − 1 sh ⁡ 2 x = sh ⁡ 2 x 1 + ch ⁡ 2 x . {displaystyle operatorname {th} x={frac {operatorname {ch} 2x-1}{operatorname {sh} 2x}}={frac {operatorname {sh} 2x}{1+operatorname {ch} 2x}}.}
  • ch ⁡ 2 x ± sh ⁡ 2 x = ( sh ⁡ x ± ch ⁡ x ) 2 . {displaystyle operatorname {ch} 2xpm operatorname {sh} 2x=(operatorname {sh} xpm operatorname {ch} x)^{2}.}
  • Формулы кратных углов:
  • sh ⁡ 3 x = 4 sh 3 ⁡ x + 3 sh ⁡ x . {displaystyle operatorname {sh} 3x=4operatorname {sh} ^{3}x+3operatorname {sh} x.}
  • ch ⁡ 3 x = 4 ch 3 ⁡ x − 3 ch ⁡ x . {displaystyle operatorname {ch} 3x=4operatorname {ch} ^{3}x-3operatorname {ch} x.}
  • th ⁡ 3 x = th ⁡ x 3 + th 2 ⁡ x 1 + 3 th 2 ⁡ x . {displaystyle operatorname {th} 3x=operatorname {th} x{frac {3+operatorname {th} ^{2}x}{1+3operatorname {th} ^{2}x}}.}
  • sh ⁡ 5 x = 16 sh 5 ⁡ x + 20 sh 3 ⁡ x + 5 sh ⁡ x . {displaystyle operatorname {sh} 5x=16operatorname {sh} ^{5}x+20operatorname {sh} ^{3}x+5operatorname {sh} x.}
  • ch ⁡ 5 x = 16 ch 5 ⁡ x − 20 ch 3 ⁡ x + 5 ch ⁡ x . {displaystyle operatorname {ch} 5x=16operatorname {ch} ^{5}x-20operatorname {ch} ^{3}x+5operatorname {ch} x.}
  • th ⁡ 5 x = th ⁡ x th 4 ⁡ x + 10 th 2 ⁡ x + 5 5 th 4 ⁡ x + 10 th 2 ⁡ x + 1 . {displaystyle operatorname {th} 5x=operatorname {th} x{frac {operatorname {th} ^{4}x+10operatorname {th} ^{2}x+5}{5operatorname {th} ^{4}x+10operatorname {th} ^{2}x+1}}.}
  • Произведения:
  • sh ⁡ x sh ⁡ y = ch ⁡ ( x + y ) − ch ⁡ ( x − y ) 2 . {displaystyle operatorname {sh} x,operatorname {sh} y={frac {operatorname {ch} (x+y)-operatorname {ch} (x-y)}{2}}.}
  • sh ⁡ x ch ⁡ y = sh ⁡ ( x + y ) + sh ⁡ ( x − y ) 2 . {displaystyle operatorname {sh} x,operatorname {ch} y={frac {operatorname {sh} (x+y)+operatorname {sh} (x-y)}{2}}.}
  • ch ⁡ x ch ⁡ y = ch ⁡ ( x + y ) + ch ⁡ ( x − y ) 2 . {displaystyle operatorname {ch} x,operatorname {ch} y={frac {operatorname {ch} (x+y)+operatorname {ch} (x-y)}{2}}.}
  • th ⁡ x th ⁡ y = ch ⁡ ( x + y ) − ch ⁡ ( x − y ) ch ⁡ ( x + y ) + ch ⁡ ( x − y ) . {displaystyle operatorname {th} x,operatorname {th} y={frac {operatorname {ch} (x+y)-operatorname {ch} (x-y)}{operatorname {ch} (x+y)+operatorname {ch} (x-y)}}.}
  • Суммы:
  • sh ⁡ x ± sh ⁡ y = 2 sh ⁡ x ± y 2 ch ⁡ x ∓ y 2 . {displaystyle operatorname {sh} xpm operatorname {sh} y=2operatorname {sh} {frac {xpm y}{2}}operatorname {ch} {frac {xmp y}{2}}.}
  • ch ⁡ x + ch ⁡ y = 2 ch ⁡ x + y 2 ch ⁡ x − y 2 . {displaystyle operatorname {ch} x+operatorname {ch} y=2operatorname {ch} {frac {x+y}{2}}operatorname {ch} {frac {x-y}{2}}.}
  • ch ⁡ x − ch ⁡ y = 2 sh ⁡ x + y 2 sh ⁡ x − y 2 . {displaystyle operatorname {ch} x-operatorname {ch} y=2operatorname {sh} {frac {x+y}{2}}operatorname {sh} {frac {x-y}{2}}.}
  • th ⁡ x ± th ⁡ y = sh ⁡ ( x ± y ) ch ⁡ x ch ⁡ y . {displaystyle operatorname {th} xpm operatorname {th} y={frac {operatorname {sh} (xpm y)}{operatorname {ch} x,operatorname {ch} y}}.}
  • Формулы понижения степени:
  • ch 2 ⁡ x 2 = ch ⁡ x + 1 2 . {displaystyle operatorname {ch} ^{2}{frac {x}{2}}={frac {operatorname {ch} x+1}{2}}.}
  • sh 2 ⁡ x 2 = ch ⁡ x − 1 2 . {displaystyle operatorname {sh} ^{2}{frac {x}{2}}={frac {operatorname {ch} x-1}{2}}.}
  • Производные:
  • Интегралы: См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций
  • ∫ sh ⁡ x d x = ch ⁡ x + C . {displaystyle int operatorname {sh} x,dx=operatorname {ch} x+C.}
  • ∫ ch ⁡ x d x = sh ⁡ x + C . {displaystyle int operatorname {ch} x,dx=operatorname {sh} x+C.}
  • ∫ th ⁡ x d x = ln ⁡ ch ⁡ x + C . {displaystyle int operatorname {th} x,dx=ln operatorname {ch} x+C.}
  • ∫ 1 ch 2 ⁡ x d x = th ⁡ x + C . {displaystyle int {frac {1}{operatorname {ch} ^{2}x}},dx=operatorname {th} x+C.}
  • ∫ 1 sh 2 ⁡ x d x = − cth ⁡ x + C . {displaystyle int {frac {1}{operatorname {sh} ^{2}x}},dx=-operatorname {cth} x+C.}
  • sh ⁡ x = ∫ 0 x ch ⁡ t d t . {displaystyle operatorname {sh} x=int limits _{0}^{x}operatorname {ch} tdt.}
  • ch ⁡ x = 1 + ∫ 0 x sh ⁡ t d t . {displaystyle operatorname {ch} x=1+int limits _{0}^{x}operatorname {sh} tdt.}
  • th ⁡ x = ∫ 0 x d t ch 2 ⁡ t . {displaystyle operatorname {th} x=int limits _{0}^{x}{frac {dt}{operatorname {ch} ^{2}t}}.}
  • Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
  • sh ⁡ x = 2 th ⁡ x 2 1 − th 2 ⁡ x 2 {displaystyle operatorname {sh} x={frac {2operatorname {th} {frac {x}{2}}}{1-operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}}}
  • ch ⁡ x = 1 + th 2 ⁡ x 2 1 − th 2 ⁡ x 2 {displaystyle operatorname {ch} x={frac {1+operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}{1-operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}}}
  • th ⁡ x = 2 th ⁡ x 2 1 + th 2 ⁡ x 2 {displaystyle operatorname {th} x={frac {2operatorname {th} {frac {x}{2}}}{1+operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}}}
  • cth ⁡ x = 1 + th 2 ⁡ x 2 2 th ⁡ x 2 {displaystyle operatorname {cth} x={frac {1+operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {th} {frac {x}{2}}}}}
  • sch ⁡ x = 1 − th 2 ⁡ x 2 1 + th 2 ⁡ x 2 {displaystyle operatorname {sch} x={frac {1-operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}{1+operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}}}
  • csch ⁡ x = 1 − th 2 ⁡ x 2 2 th ⁡ x 2 {displaystyle operatorname {csch} x={frac {1-operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {th} {frac {x}{2}}}}}
  • Неравенства

    Для всех x ∈ R {displaystyle xin mathbb {R} } выполняется:

  • 0 ≤ ch ⁡ x − 1 ≤ | sh ⁡ x | < ch ⁡ x {displaystyle 0leq operatorname {ch} x-1leq |operatorname {sh} x|<operatorname {ch} x}
  • | th ⁡ x | < 1 {displaystyle |operatorname {th} x|<1}
  • Разложение в степенные ряды

    sh x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {displaystyle operatorname {sh} ,x=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+{frac {x^{7}}{7!}}+ldots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} ch x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {displaystyle operatorname {ch} ,x=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{6}}{6!}}+ldots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}} th x = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + … = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {displaystyle operatorname {th} ,x=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+ldots =sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},quad |x|<{frac {pi }{2}}} cth x = 1 x + x 3 − x 3 45 + 2 x 5 945 + … = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {displaystyle operatorname {cth} ,x={frac {1}{x}}+{frac {x}{3}}-{frac {x^{3}}{45}}+{frac {2x^{5}}{945}}+ldots ={frac {1}{x}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},quad 0<|x|<pi } (Ряд Лорана) sch x = 1 ch x = ∑ n = 0 ∞ E 2 n x 2 n ( 2 n ) ! {displaystyle operatorname {sch} ,x={frac {1}{operatorname {ch} ,x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {E_{2n},x^{2n}}{(2n)!}}}

    Здесь B 2 n {displaystyle B_{2n}} — числа Бернулли, E 2 n {displaystyle E_{2n}} — числа Эйлера.

    Графики

    sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

    Аналитические свойства

    Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = i π ( n + 1 / 2 ) {displaystyle z=ipi (n+1/2)} , где n {displaystyle n} — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = i π n {displaystyle z=ipi n} , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

    Обратные гиперболические функции

    Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

    • arsh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) {displaystyle operatorname {arsh} x=ln(x+{sqrt {x^{2}+1}})} — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
    • arch ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 {displaystyle operatorname {arch} x=ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}} ight);xgeq 1} — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
    • arth ⁡ x = ln ⁡ 1 − x 2 1 − x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 − x ; | x | < 1 {displaystyle operatorname {arth} x=ln {frac {sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={frac {1}{2}}ln {frac {1+x}{1-x}};|x|<1} — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
    • arcth ⁡ x = ln ⁡ x 2 − 1 x − 1 = 1 2 ln ⁡ x + 1 x − 1 ; | x | > 1 {displaystyle operatorname {arcth} x=ln {frac {sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={frac {1}{2}}ln {frac {x+1}{x-1}};|x|>1} — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
    • arsch ⁡ x = ln ⁡ 1 + 1 − x 2 x ; 0 < x ≤ 1 {displaystyle operatorname {arsch} x=ln {frac {1+{sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<xleq 1} — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение y = − ln ⁡ 1 + 1 − x 2 x {displaystyle y=-ln {frac {1+{sqrt {1-x^{2}}}}{x}}} также удовлетворяет уравнению sch ⁡ y = x {displaystyle operatorname {sch} y=x} , однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
    • arcsch ⁡ x = ln ⁡ 1 + sgn ⁡ x 1 + x 2 x = { ln ⁡ 1 − 1 + x 2 x , x < 0 ln ⁡ 1 + 1 + x 2 x , x > 0 {displaystyle operatorname {arcsch} x=ln {frac {1+operatorname {sgn} x{sqrt {1+x^{2}}}}{x}}=left{{egin{array}{l}ln {frac {1-{sqrt {1+x^{2}}}}{x}},quad x<0ln {frac {1+{sqrt {1+x^{2}}}}{x}},quad x>0end{array}} ight.} — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.

    Графики

    arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

    Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

    Arsh ⁡ x = − i Arcsin ⁡ ( − i x ) , {displaystyle operatorname {Arsh} x=-ioperatorname {Arcsin} (-ix),} Arsh ⁡ ( i x ) = i Arcsin ⁡ x , {displaystyle operatorname {Arsh} (ix)=ioperatorname {Arcsin} x,} Arcsin ⁡ x = − i Arsh ⁡ ( i x ) , {displaystyle operatorname {Arcsin} x=-ioperatorname {Arsh} (ix),} Arcsin ⁡ ( i x ) = − i Arsh ⁡ ( − x ) , {displaystyle operatorname {Arcsin} (ix)=-ioperatorname {Arsh} (-x),} Arccos ⁡   x = − i   Arch ⁡   x , {displaystyle operatorname {Arccos} x=-i operatorname {Arch} x,}

    где i — мнимая единица.

    Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

    arsh ⁡ x = x − ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1 ; {displaystyle operatorname {arsh} x=x-left({frac {1}{2}} ight){frac {x^{3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}} ight){frac {x^{5}}{5}}-left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}} ight){frac {x^{7}}{7}}+ldots =sum _{n=0}^{infty }left({frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}} ight){frac {x^{2n+1}}{2n+1}},quad leftvert x ightvert <1;} arch ⁡ x = ln ⁡ ( 2 x ) − ( ( 1 2 ) x − 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 6 6 + … ) = ln ⁡ ( 2 x ) − ∑ n = 1 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − 2 n 2 n , x > 1 ; {displaystyle operatorname {arch} x=ln(2x)-left(left({frac {1}{2}} ight){frac {x^{-2}}{2}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}} ight){frac {x^{-4}}{4}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}} ight){frac {x^{-6}}{6}}+ldots ight)=ln(2x)-sum _{n=1}^{infty }left({frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}} ight){frac {x^{-2n}}{2n}},quad x>1;} arth ⁡ x = x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1. {displaystyle operatorname {arth} x=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}+{frac {x^{7}}{7}}+ldots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{2n+1}},quad |x|<1.}

    В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, Arth x {displaystyle operatorname {Arth} ,x} пишут как tanh − 1 ⁡ x {displaystyle operatorname {tanh} ^{-1}x} (причём ( tanh x ) − 1 {displaystyle (operatorname {tanh} ,x)^{-1}} обозначает другую функцию — cth x {displaystyle operatorname {cth} ,x} ), и т. д.

    История

    Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: sh {displaystyle operatorname {sh} } , ch {displaystyle operatorname {ch} } . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

    Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

    В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp {displaystyle operatorname {sinhyp} } , coshyp {displaystyle operatorname {coshyp} } , в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh , ch {displaystyle operatorname {sh} ,operatorname {ch} } , в англоязычной закрепились sinh , cosh {displaystyle sinh ,cosh } .

    Применение

    Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

    Аналогично тому, как матрицы вида ( cos ⁡ x sin ⁡ x − sin ⁡ x cos ⁡ x ) {displaystyle {egin{pmatrix}cos x&sin x-sin x&cos xend{pmatrix}}} описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы ( c h x s h x s h x c h x ) {displaystyle {egin{pmatrix}mathop {mathrm {ch} } ,x&mathop {mathrm {sh} } ,xmathop {mathrm {sh} } ,x&mathop {mathrm {ch} } ,xend{pmatrix}}} описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

    Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции y = a c h x a {displaystyle y=a,mathop {mathrm {ch} } ,{frac {x}{a}}} (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.



    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий:
    Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2021
    При цитировании информации ссылка на сайт обязательна.
    Копирование материалов сайта ЗАПРЕЩЕНО!