Алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.

Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории схем групп, в теории групп (благодаря концепции группового кольца) и во многих других местах, делая их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный предмет в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.

Определение

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра H над полем K {displaystyle K} вместе с K {displaystyle K} -линейным отображением S : H → H {displaystyle Scolon H o H} (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:

Здесь Δ — коумножение биалгебры, ∇ — её умножение, η — её единица и ε — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:

Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле K {displaystyle K} на коммутативное кольцо R {displaystyle R} ).

Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к H (которое всегда можно определить, если H является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.

Свойства антипода

Антипод S иногда обязан иметь R-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если H коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).

Вообще говоря, S — антигомоморфизм, так S2 — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если S было обратимо (как может требоваться).

Если S 2 = I d {displaystyle S^{2}=Id} , то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если H — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра B допускает антипод S, то S единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).

Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает g {displaystyle g} к g − 1 {displaystyle g^{-1}} .

Подалгебры Хопфа

Подалгебра A алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H и антипод S отображает A в A. Другими словами, подалгебра Хопфа A — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный R-модуль имеет конечный ранг и свободен, если H конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа A называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности, a d r ( h ) ( A ) ⊆ A {displaystyle ad_{r}(h)(A)subseteq A} для всех h из H, где присоединённое действие a d r {displaystyle ad_{r}} определено как a d r ( h ) ( a ) = S ( h ( 1 ) ) a h ( 2 ) {displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)}} для всех a из A и h из H. Точно так же подалгебра Хопфа K является левой нормальной в H если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как a d ℓ ( h ) ( k ) = h ( 1 ) k S ( h ( 2 ) ) {displaystyle ad_{ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})} для всех k из K. Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен. В этом случае говорят, что A = K является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): H A + = A + H {displaystyle HA^{+}=A^{+}H} , где A + {displaystyle A^{+}} обозначает ядро коединицы K. Это условие нормальности подразумевает, что H A + {displaystyle HA^{+}} — идеал Хопфа алгебры H (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа H / H A + {displaystyle H/HA^{+}} и эпиморфизм H → H / A + H {displaystyle H ightarrow H/A^{+}H} , аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.

Примеры

то R G превращается в алгебру Хопфа.

Когомология групп Ли

Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение задано соумножением, и коумножение имеед вид

в силу умножения группы G × G → G {displaystyle G imes G ightarrow G} . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

Теорема Хопфа Пусть A конечномерная, суперкоммутативная, кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.

Квантовые группы

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть Δ = T ∘ Δ, где T : H ⊗ H → H ⊗ H есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где H — множество, а не модуль. В этом случае:

• поле R заменено множеством из 1 элемента
• есть естественная коединица (отображение в единственный элемент)
• есть естественное коумножение (диагональное отображение)
• единица — нейтральный элемент группы
• умножение — умножение в группе
• антипод — взятие обратного элемента в группе

В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над полем из одного элемента.