Неравенство Гаека — Реньи

14.08.2021

Неравенство Гаека — Реньи в теории вероятностей названо по имени Ярослава Гаека и Альфреда Реньи.

Формулировка

Если случайные величины ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n , . . . {displaystyle xi _{1},xi _{2},...,xi _{n},...} являются независимыми, M ξ k = a k , D ξ k = σ k 2 , k = 1 , 2 , . . . {displaystyle Mxi _{k}=a_{k},Dxi _{k}=sigma _{k}^{2},k=1,2,...} , а C 1 , C 2 , . . . {displaystyle C_{1},C_{2},...} — невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} и для всех m , n ∈ N , m < n , {displaystyle m,nin mathbb {N} ,m<n,} выполнено

P ( max m ⩽ k ⩽ n C k | ∑ i = 1 k ( ξ i − a i ) | > ε ) ⩽ 1 ε 2 ( C m 2 ∑ k = 1 m σ k 2 + ∑ k = m + 1 n C k 2 σ k 2 ) {displaystyle Pleft(max _{mleqslant kleqslant n}C_{k}left|sum _{i=1}^{k}left(xi _{i}-a_{i} ight) ight|>varepsilon ight)leqslant {frac {1}{varepsilon ^{2}}}left(C_{m}^{2}sum _{k=1}^{m}sigma _{k}^{2}+sum _{k=m+1}^{n}C_{k}^{2}sigma _{k}^{2} ight)}

Доказательство

Введём следующие обозначения:

S k = ∑ i = 1 k ( ξ i − a i ) {displaystyle S_{k}=sum _{i=1}^{k}left(xi _{i}-a_{i} ight)} , η = ∑ k = m n − 1 S k 2 ( C k 2 − C k + 1 2 ) + S n 2 C n 2 {displaystyle eta =sum _{k=m}^{n-1}S_{k}^{2}left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2} ight)+S_{n}^{2}C_{n}^{2}}

Найдем математическое ожидание η {displaystyle eta } и преобразуем его к удобному виду:

M η = ∑ k = m n − 1 ( C k 2 − C k + 1 2 ) M S k 2 + C n 2 M S n 2 = ∑ k = m n − 1 ∑ i = 1 k σ i 2 ( C k 2 − C k + 1 2 ) + C n 2 ∑ i = 1 n σ i 2 = {displaystyle {mathsf {M}}eta =sum _{k=m}^{n-1}left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2} ight){mathsf {M}}S_{k}^{2}+C_{n}^{2}{mathsf {M}}S_{n}^{2}=sum _{k=m}^{n-1}sum _{i=1}^{k}sigma _{i}^{2}left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2} ight)+C_{n}^{2}sum _{i=1}^{n}sigma _{i}^{2}=}

= ∑ i = 1 m ∑ k = m n − 1 σ i 2 ( C k 2 − C k + 1 2 ) + C n 2 ∑ i = 1 n σ i 2 = ∑ i = 1 m σ i 2 ( C m 2 − C n 2 ) + ∑ i = m + 1 n − 1 σ i 2 ( C i 2 − C n 2 ) + C n 2 ∑ i = 1 n σ i 2 = C m 2 ∑ i = 1 m σ i 2 + ∑ i = m + 1 n σ i 2 C i 2 {displaystyle =sum _{i=1}^{m}sum _{k=m}^{n-1}sigma _{i}^{2}left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2} ight)+C_{n}^{2}sum _{i=1}^{n}sigma _{i}^{2}=sum _{i=1}^{m}sigma _{i}^{2}left(C_{m}^{2}-C_{n}^{2} ight)+sum _{i=m+1}^{n-1}sigma _{i}^{2}left(C_{i}^{2}-C_{n}^{2} ight)+C_{n}^{2}sum _{i=1}^{n}sigma _{i}^{2}=C_{m}^{2}sum _{i=1}^{m}sigma _{i}^{2}+sum _{i=m+1}^{n}sigma _{i}^{2}C_{i}^{2}}

Рассмотрим следующие случайные события для некоторого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0}

A i = { ω ∈ Ω : C k | S k ( ω ) | ≤ ε , m ≤ k ≤ i − 1 , C i | S i ( ω ) | > ε } , i = m , n ¯ {displaystyle A_{i}=left{omega in Omega :C_{k}left|S_{k}left(omega ight) ight|leq varepsilon ,mleq kleq i-1,C_{i}left|S_{i}left(omega ight) ight|>varepsilon ight},i={overline {m,n}}}

События A i , i = m , n ¯ , {displaystyle A_{i},i={overline {m,n}},} являются несовместными. Значит,

P ( max m ≤ k ≤ C k | ∑ i = 1 k ( ξ i − a i ) | > ε ) = P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = m n P ( A i ) {displaystyle Pleft(max _{mleq kleq }C_{k}left|sum _{i=1}^{k}left(xi _{i}-a_{i} ight) ight|>varepsilon ight)=Pleft(igcup _{i=1}^{n}A_{i} ight)=sum _{i=m}^{n}Pleft(A_{i} ight)}

Теорема будет доказана, если будет установлено неравенство:

M η ≥ ε 2 ∑ i = m n P ( A i ) {displaystyle {mathsf {M}}eta geq varepsilon ^{2}sum _{i=m}^{n}Pleft(A_{i} ight)}

Докажем его:

M η ≥ M η ∑ i = m n I A i = ∑ i = m n M η I A i , {displaystyle {mathsf {M}}eta geq {mathsf {M}}eta sum _{i=m}^{n}I_{A_{i}}=sum _{i=m}^{n}{mathsf {M}}eta I_{A_{i}},} M η I A i = ∑ k = m n − 1 ( C k 2 − C k + 1 2 ) M S k 2 I A i + C n 2 M S n 2 I A i {displaystyle {mathsf {M}}eta I_{A_{i}}=sum _{k=m}^{n-1}left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2} ight){mathsf {M}}S_{k}^{2}I_{A_{i}}+C_{n}^{2}{mathsf {M}}S_{n}^{2}I_{A_{i}}} M η I A i = M ( S k − S i + S i ) 2 I A i ≥ M S i 2 I A i + 2 M ( S k − S i ) S i I A i = M S i 2 I A i + 2 M ( S k − S i ) M S i I A i ≥ M ε 2 C i 2 I A i = ε 2 C i 2 P ( A i ) {displaystyle {mathsf {M}}eta I_{A_{i}}={mathsf {M}}left(S_{k}-S_{i}+S_{i} ight)^{2}I_{A_{i}}geq {mathsf {M}}S_{i}^{2}I_{A_{i}}+2{mathsf {M}}left(S_{k}-S_{i} ight)S_{i}I_{A_{i}}={mathsf {M}}S_{i}^{2}I_{A_{i}}+2{mathsf {M}}left(S_{k}-S_{i} ight){mathsf {M}}S_{i}I_{A_{i}}geq {mathsf {M}}{frac {varepsilon ^{2}}{C_{i}^{2}}}I_{A_{i}}={frac {varepsilon ^{2}}{C_{i}^{2}}}Pleft(A_{i} ight)}

Следствие (неравенство Колмогорова)

Если случайные величины ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n , . . . , {displaystyle xi _{1},xi _{2},...,xi _{n},...,} независимы и имеют конечные математические ожидания и дисперсии, то

P ( max 1 ≤ k ≤ n 1 k | ∑ i = 1 k ( ξ i − M ξ i ) | > ε ) ≤ 1 ε 2 ∑ k = 1 n D ξ k k 2 {displaystyle Pleft(max _{1leq kleq n}{frac {1}{k}}left|sum _{i=1}^{k}left(xi _{i}-{mathsf {M}}xi _{i} ight) ight|>varepsilon ight)leq {frac {1}{varepsilon ^{2}}}sum _{k=1}^{n}{frac {Dxi _{k}}{k^{2}}}}

Доказательство

Доказательство вытекает из неравенства Гаека — Реньи, если

C k = 1 k , {displaystyle C_{k}={frac {1}{k}},} m = 1 {displaystyle m=1}

Это неравенство можно записать в виде:

P ( max 1 ≤ k ≤ n 1 k | ∑ i = 1 k ( ξ i − M ξ i ) | > ε ) ≤ 1 ε 2 ∑ k = 1 n D ξ k {displaystyle Pleft(max _{1leq kleq n}{frac {1}{k}}left|sum _{i=1}^{k}left(xi _{i}-{mathsf {M}}xi _{i} ight) ight|>varepsilon ight)leq {frac {1}{varepsilon ^{2}}}sum _{k=1}^{n}Dxi _{k}}

Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2021
При цитировании информации ссылка на сайт обязательна.
Копирование материалов сайта ЗАПРЕЩЕНО!