23.09.2021
Ситуации, требующие условного обозначения бывают самые разные, и применение ярких полиэтиленовых лент здорово экономит время и...


23.09.2021
Принято считать, что микрофинансовые компании – это место, где всегда можно получить онлайн кредит без отказа и проверки. Однако...


23.09.2021
Строительные работы требуют особого внимания к подбору материала. Благодаря современным разработкам такой выбор сейчас сделать...


23.09.2021
Сложно найти продукт, который бы узнавали также быстро, а актуальность признавали абсолютно все. Этим продуктом является клейкая...


23.09.2021
Современные материалы и новые виды продукции позволяют использование в качестве универсальных во многих сферах деятельности....


22.09.2021
Сведения об отходах, которые образуются на производстве, нужны для производственного экологического контроля и создания для него...


Интеграл Норлунда — Райса

20.08.2021

Интеграл Норлунда — Райса (метод Райса) — интеграл, связывающий n {displaystyle n} конечных разностей с криволинейным интегралом в комплексной плоскости. Интеграл используется в теории конечных разностей, а также в Информатике и теории графов для оценки длины двоичного дерева.

Интеграл назван в честь Нильса Э. Норлунда и Стефана О. Райса; Норлунд определил интеграл; Райс нашёл ему применение в методе перевала.

Определение

Для мероморфной функции f {displaystyle f} n {displaystyle n} -ю конечную разность Δ n [ f ] ( x ) {displaystyle Delta ^{n}[f](x)} можно представить в виде:

Δ n [ f ] ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) n − k f ( x + k ) , {displaystyle Delta ^{n}[f](x)=sum _{k=0}^{n}{n choose k}(-1)^{n-k}f(x+k),} где ( n k ) {displaystyle {n choose k}} — Биномиальный коэффициент.

Переходя к интегрированию в окрестности полюсов точек α … n {displaystyle alpha ldots n} и при условии, что функция f {displaystyle f} полюсов не имеет, получим:

∑ k = α n ( n k ) ( − 1 ) n − k f ( k ) = n ! 2 π i ∮ γ f ( z ) z ( z − 1 ) ( z − 2 ) … ( z − n ) d z {displaystyle sum _{k=alpha }^{n}{n choose k}(-1)^{n-k}f(k)={frac {n!}{2pi i}}oint _{gamma }{frac {f(z)}{z(z-1)(z-2)ldots (z-n)}},dz} для 0 ⩽ α ⩽ n ( α ∈ N ) {displaystyle 0leqslant alpha leqslant n(alpha in mathbb {N} )} .

Интеграл также можно записать в виде:

∑ k = α n ( n k ) ( − 1 ) k f ( k ) = − 1 2 π i ∮ γ B ( n + 1 , − z ) f ( z ) d z , {displaystyle sum _{k=alpha }^{n}{n choose k}(-1)^{k}f(k)=-{frac {1}{2pi i}}oint _{gamma }B(n+1,-z)f(z),dz,} где B ( a , b ) {displaystyle B(a,b)} — бета-функция Эйлера.

Если функция f {displaystyle f} полиномиально ограничена, например, справа, то интеграл можно продлить направо до бесконечности, получив запись:

∑ k = α n ( n k ) ( − 1 ) n − k f ( k ) = − n ! 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ f ( z ) z ( z − 1 ) ( z − 2 ) ⋯ ( z − n ) d z , {displaystyle sum _{k=alpha }^{n}{n choose k}(-1)^{n-k}f(k)={frac {-n!}{2pi i}}int _{c-iinfty }^{c+iinfty }{frac {f(z)}{z(z-1)(z-2)cdots (z-n)}},dz,} где c < α {displaystyle c<alpha }

Цикл Пуассона — Меллина — Ньютона

Пусть { f n } {displaystyle {f_{n}}} — некая последовательность и пусть g ( t ) {displaystyle g(t)} — некая производящая функция последовательности, причём g ( t ) = e − t ∑ n = 0 ∞ f n t n . {displaystyle g(t)=e^{-t}sum _{n=0}^{infty }f_{n}t^{n}.}

Используя преобразование Меллина, получим, что

ϕ ( s ) = ∫ 0 ∞ g ( t ) t s − 1 d t . {displaystyle phi (s)=int _{0}^{infty }g(t)t^{s-1},dt.}

Тогда можно найти исходную последовательность с помощью интеграла Норлунда — Райса:

f n = ( − 1 ) n 2 π i ∫ γ ϕ ( s ) Γ ( − s ) n ! s ( s − 1 ) ⋯ ( s − n ) d s , {displaystyle f_{n}={frac {(-1)^{n}}{2pi i}}int _{gamma }{frac {phi (s)}{Gamma (-s)}}{frac {n!}{s(s-1)cdots (s-n)}},ds,} где Γ {displaystyle Gamma } — гамма-функция.

Применение

Это интегральное представление интересно тем, что интеграл Норлунда — Райса часто может быть оценён с использованием методов асимптотического разложения или методом перевала.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна