Чисто мнимое число

26.08.2021

Чисто мнимое число — комплексное число с нулевой действительной частью. Иногда только такие числа называются мнимыми числами, но этот термин также используется для обозначения произвольных комплексных чисел с ненулевой мнимой частью. Термин «мнимое число» предложил в XVII веке французский математик Рене Декарт, изначально этот термин носил уничижительный смысл, поскольку такие числа считались вымышленными или бесполезными, и лишь после работ Леонарда Эйлера и Карла Гаусса это понятие получило признание в научном сообществе.

Определения

Пусть z = x + i y {displaystyle z=x+iy} — комплексное число, где x {displaystyle x} и y {displaystyle y} — действительные числа. Числа x = ℜ ( z ) {displaystyle x=Re (z)} или Re ⁡   z {displaystyle operatorname {Re} ~z} и y = ℑ ( z ) {displaystyle y=Im (z)} или Im ⁡   z {displaystyle operatorname {Im} ~z} называются соответственно действительной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями z {displaystyle z} .

  • Если x = 0 {displaystyle x=0} , то z {displaystyle z} называется чисто мнимым числом.
  • Если y = 0 {displaystyle y=0} , то z {displaystyle z} является действительным числом.

История

Впервые мнимые числа упоминает в своих трудах древнегреческий математик и инженер Герон Александрийский, но правила осуществления арифметических операций (в частности, умножения) над ними ввёл Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Концепция Бомбелли появилась раньше аналогичных работ Джероламо Кардано. В XVI—XVII веках мнимые числа рассматривались большей частью научного сообщества как фиктивные или бесполезные (аналогично тому, как воспринималось в свое время понятие нуля). В частности, Рене Декарт, упоминая о мнимых числах в своём фундаментальном труде «Геометрия», использовал термин «мнимый» в уничижительном смысле. Использование мнимых чисел не было широко распространено до появления работ Леонарда Эйлера (1707—1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777—1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745—1818).

В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырёхмерного пространства кватернионов, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

С развитием в теории факторколец концепции кольца многочленов понятие мнимого числа стало более содержательным и получило дальнейшее развитие в понятии j — бикомплексных чисел, у которых квадрат равен +1. Эта идея появилась в статье английского математика Джеймса Кокла 1848 года.

Геометрическая интерпретация

На плоскости комплексных чисел мнимые числа находятся на вертикальной оси, перпендикулярной оси действительных чисел. Один из способов геометрической интерпретации мнимых чисел — рассмотреть стандартную числовую ось, где положительные числа находятся справа, а отрицательные — слева. Через точку 0 на оси x может быть проведена ось y с «положительным» направлением, идущим вверх; «положительные» мнимые числа увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эта вертикальная ось часто называется «мнимой осью» и обозначается iℝ, I {displaystyle scriptstyle mathbb {I} } , или ℑ.

В этом представлении умножение на –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении (то есть против часовой стрелки), а уравнение i2 = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, результатом будет один поворот на 180 градусов. При этом поворот на 90 градусов в «отрицательном» направлении (то есть по часовой стрелке) также удовлетворяет этой интерпретации. Это отражает тот факт, что −i также является решением уравнения x2 = −1. Как правило, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат аргумента комплексного числа с последующим масштабированием по его величине.

Квадратные корни из отрицательных чисел

Необходимо соблюдать осторожность при работе с мнимыми числами, являющимися главными значениями квадратных корней отрицательных чисел. Например, такой математический софизм:

6 = 36 = ( − 4 ) ( − 9 ) ≠ − 4 − 9 = ( 2 i ) ( 3 i ) = 6 i 2 = − 6. {displaystyle 6={sqrt {36}}={sqrt {(-4)(-9)}} eq {sqrt {-4}}{sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}

Иногда это записывается так:

− 1 = i 2 = − 1 − 1 =  (софизм)  ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 = 1. {displaystyle -1=i^{2}={sqrt {-1}}{sqrt {-1}}{stackrel { ext{ (софизм) }}{=}}{sqrt {(-1)(-1)}}={sqrt {1}}=1.}

Подобный математический софизм возникает в случае, когда в равенстве x y = x y {displaystyle {sqrt {xy}}={sqrt {x}}{sqrt {y}}} переменные не имеют соответствующих ограничений. В этом случае равенство не выполняется, так как оба числа отрицательны. Это можно показать как

− x − y = i x   i y = i 2 x y = − x y ≠ x y , {displaystyle {sqrt {-x}}{sqrt {-y}}=i{sqrt {x}} i{sqrt {y}}=i^{2}{sqrt {x}}{sqrt {y}}=-{sqrt {xy}} eq {sqrt {xy}},}

где и x и y — неотрицательные действительные числа.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна