23.09.2021
Ситуации, требующие условного обозначения бывают самые разные, и применение ярких полиэтиленовых лент здорово экономит время и...


23.09.2021
Принято считать, что микрофинансовые компании – это место, где всегда можно получить онлайн кредит без отказа и проверки. Однако...


23.09.2021
Строительные работы требуют особого внимания к подбору материала. Благодаря современным разработкам такой выбор сейчас сделать...


23.09.2021
Сложно найти продукт, который бы узнавали также быстро, а актуальность признавали абсолютно все. Этим продуктом является клейкая...


23.09.2021
Современные материалы и новые виды продукции позволяют использование в качестве универсальных во многих сферах деятельности....


22.09.2021
Сведения об отходах, которые образуются на производстве, нужны для производственного экологического контроля и создания для него...


Эпсилон-сеть

04.09.2021

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества M {displaystyle M} метрического пространства X {displaystyle X} есть множество Z {displaystyle Z} из того же пространства X {displaystyle X} такое, что для любой точки x ∈ M {displaystyle xin M} найдётся точка z ∈ Z {displaystyle zin Z} , удалённая от x {displaystyle x} не более чем на ε.

Связанные определения

  • Метрическое пространство, в котором для каждого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует конечная ε {displaystyle varepsilon } -сеть, называется вполне ограниченным.
  • Метрика ρ {displaystyle ho } на множестве X {displaystyle X} называется вполне ограниченной, если ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} — вполне ограниченное метрическое пространство.
  • Семейство метрических пространств ( X α , ρ α ) {displaystyle (X_{alpha }, ho _{alpha })} таких, что для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} есть натуральное число N ε {displaystyle N_{varepsilon }} такое, что каждое пространство ( X α , ρ α ) {displaystyle (X_{alpha }, ho _{alpha })} допускает ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} -сеть из не более чем N ε {displaystyle N_{varepsilon }} точек называется универсально вполне ограниченной.
    • Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.
  • Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры

  • Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
  • Множество целых чисел — ε-сеть для множества вещественных для ε ≥ 0 , 5 {displaystyle varepsilon geq 0{,}5}

Свойства

  • Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
  • Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества M {displaystyle M} метрического пространства X {displaystyle X} необходимо, а в случае полноты пространства X {displaystyle X} и достаточно, чтобы при любом ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существовала конечная ε-сеть из элементов множества M {displaystyle M} .
Доказательство

Необходимость

Пусть множество M {displaystyle M} (относительно) компактно. Зафиксируем ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} и рассмотрим любой элемент x 1 ∈ M {displaystyle x_{1}in M} . Если ρ ( x , x 1 ) < ε {displaystyle ho (x,x_{1})<varepsilon } для любого x ∈ M {displaystyle xin M} , то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент x 2 ∈ M {displaystyle x_{2}in M} такой, что ρ ( x 2 , x 1 ) ⩾ ε {displaystyle ho (x_{2},x_{1})geqslant varepsilon } . Имеются далее две возможности. Либо для любого x ∈ M {displaystyle xin M} по крайней мере одно из чисел ρ ( x , x 1 ) {displaystyle ho (x,x_{1})} или ρ ( x , x 2 ) {displaystyle ho (x,x_{2})} меньше ε {displaystyle varepsilon } , и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент x 3 ∈ M {displaystyle x_{3}in M} такой, что ρ ( x 3 , x 1 ) ⩾ ε {displaystyle ho (x_{3},x_{1})geqslant varepsilon } , ρ ( x 3 , x 2 ) ⩾ ε {displaystyle ho (x_{3},x_{2})geqslant varepsilon } , и так далее. Покажем, что процесс построения точек x 1 , x 2 , … {displaystyle x_{1},x_{2},ldots } оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то получилась бы последовательность x 1 , x 2 , … , x n , … {displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},ldots } , для которой ρ ( x i , x j ) ⩾ ε {displaystyle ho (x_{i},x_{j})geqslant varepsilon } при i ≠ j {displaystyle i eq j} . Но тогда ни сама последовательность { x n } , {displaystyle {x_{n}},} ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества M {displaystyle M} . Итак, для компактного множества M {displaystyle M} мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.

Достаточность

Пусть при любом ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует ε-сеть для множества M {displaystyle M} . Возьмем числовую последовательность f ε n g {displaystyle {mathcal {f}}varepsilon _{n}{mathcal {g}}} , где ε n → 0 {displaystyle varepsilon _{n} ightarrow 0} при n → ∞ {displaystyle n ightarrow infty } и для каждого n {displaystyle n} построим ε n {displaystyle varepsilon _{n}} -сеть N n = { z 1 ( n ) , z 2 ( n ) , … , z m n ( n ) } {displaystyle N_{n}={z_{1}^{(n)},z_{2}^{(n)},ldots ,z_{m_{n}}^{(n)}}} . Рассмотрим произвольную последовательность { x n } ∈ M {displaystyle {x_{n}}in M} . Так как N 1 {displaystyle N_{1}} есть ε 1 {displaystyle varepsilon _{1}} -сеть для M {displaystyle M} , то, каков бы ни был элемент x ∈ M {displaystyle xin M} , будем иметь, что ρ ( x , z i ( 1 ) ) < ε 1 {displaystyle ho (x,z_{i}^{(1)})<varepsilon _{1}} для хотя бы одного элемента z i ( 1 ) ∈ N 1 {displaystyle z_{i}^{(1)}in N_{1}} . Поэтому любой элемент x ∈ M {displaystyle xin M} попадает хотя бы в один шар S ( z i ( 1 ) , ε 1 ) , i = 1 , 2 , … , m 1 {displaystyle S(z_{i}^{(1)},varepsilon _{1}),i=1,2,ldots ,m_{1}} , то есть все множество M {displaystyle M} , а тем более вся последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} бесконечна, то найдется хотя бы один шар S ( z i ( 1 ) , ε 1 ) {displaystyle S(z_{i}^{(1)},varepsilon _{1})} , который будет содержать бесконечную подпоследовательность { x n ( 1 ) } {displaystyle {x_{n}^{(1)}}} нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для N m , m = 2 , 3 , … {displaystyle N_{m},m=2,3,ldots } . Составим диагональную подпоследовательность x 1 ( 1 ) , x 2 ( 2 ) , … , x k ( k ) , … {displaystyle x_{1}^{(1)},x_{2}^{(2)},ldots ,x_{k}^{(k)},ldots } . Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как x k ( k ) {displaystyle x_{k}^{(k)}} и x k + p ( k + p ) {displaystyle x_{k+p}^{(k+p)}} при p > 0 {displaystyle p>0} входят в k {displaystyle k} -ю подпоследовательность, а k {displaystyle k} -я подпоследовательность содержится в шаре S ( z i ( k ) , ε k ) {displaystyle S(z_{i}^{(k)},varepsilon _{k})} , то ρ ( x k + p ( k + p ) , x k ( k ) ) ⩽ ε k → 0 {displaystyle ho (x_{k+p}^{(k+p)},x_{k}^{(k)})leqslant varepsilon _{k} ightarrow 0} при k → ∞ {displaystyle k ightarrow infty } . По предположению, пространство X {displaystyle X} полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности { x k ( k ) } {displaystyle {x_{k}^{(k)}}} следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности { x n } {displaystyle {x_{n}}} сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества M . {displaystyle M.}

  • Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} в нём существует компактная ε-сеть.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2020
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна