Распределение арксинуса
Распределение арксинуса (англ. Arcsine distribution) — распределение вероятностей, функция распределения которого имеет вид
F ( x ) = 2 π arcsin ( x ) = arcsin ( 2 x − 1 ) π + 1 2 {displaystyle F(x)={frac {2}{pi }}arcsin left({sqrt {x}} ight)={frac {arcsin(2x-1)}{pi }}+{frac {1}{2}}}при 0 ≤ x ≤ 1, а плотность вероятности равна
f ( x ) = 1 π x ( 1 − x ) {displaystyle f(x)={frac {1}{pi {sqrt {x(1-x)}}}}}на (0, 1). Стандартное распределение арксинуса является частным случаем бета-распределения при α = β = 1/2. Таким образом, если X {displaystyle X} представляет собой стандартное распределение арксинуса, то X ∼ B e t a ( 1 2 , 1 2 ) {displaystyle Xsim { m {Beta}}{igl (}{ frac {1}{2}},{ frac {1}{2}}{igr )}} .
Обобщение
Носитель с произвольными границами
Распределение арксинуса можно обобщить на случай произвольного ограниченного носителя a ≤ x ≤ b с помощью простого преобразования
F ( x ) = 2 π arcsin ( x − a b − a ) {displaystyle F(x)={frac {2}{pi }}arcsin left({sqrt {frac {x-a}{b-a}}} ight)}при a ≤ x ≤ b, плотность вероятности задаётся функцией
f ( x ) = 1 π ( x − a ) ( b − x ) {displaystyle f(x)={frac {1}{pi {sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}на (a, b).
Обобщённое стандартное распределение арксинуса на (0,1) с плотностью распределения
f ( x ; α ) = sin π α π x − α ( 1 − x ) α − 1 {displaystyle f(x;alpha )={frac {sin pi alpha }{pi }}x^{-alpha }(1-x)^{alpha -1}}представляет собой частный случай бета-распределения с параметрами B e t a ( 1 − α , α ) {displaystyle { m {Beta}}(1-alpha ,alpha )} .
Заметим, что при α = 1 2 {displaystyle alpha ={ frac {1}{2}}} обобщённое распределение арксинуса приводится к указанному выше виду.
Свойства
- Распределение арксинуса замкнуто относительно сдвига и масштабирования на положительный множитель
- Если X ∼ A r c s i n e ( a , b ) {displaystyle Xsim { m {Arcsine}}(a,b)} , то k X + c ∼ A r c s i n e ( a k + c , b k + c ) {displaystyle kX+csim { m {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}
- Квадрат распределения арксинуса на (-1, 1) обладает распределением арксинуса на (0, 1)
- Если X ∼ A r c s i n e ( − 1 , 1 ) {displaystyle Xsim { m {Arcsine}}(-1,1)} , то X 2 ∼ A r c s i n e ( 0 , 1 ) {displaystyle X^{2}sim { m {Arcsine}}(0,1)}
Связанные распределения
- Если U и V независимые и одинаково распределённые случайные величины на (−π,π), то sin ( U ) {displaystyle sin(U)} , sin ( 2 U ) {displaystyle sin(2U)} , − cos ( 2 U ) {displaystyle -cos(2U)} , sin ( U + V ) {displaystyle sin(U+V)} и sin ( U − V ) {displaystyle sin(U-V)} обладают распределением A r c s i n e ( − 1 , 1 ) {displaystyle { m {Arcsine}}(-1,1)} .
- Если X {displaystyle X} — обобщённое распределение арксинуса с параметром α {displaystyle alpha } на носителе [a,b], тогда X − a b − a ∼ B e t a ( 1 − α , α ) {displaystyle {frac {X-a}{b-a}}sim { m {Beta}}(1-alpha ,alpha ) } .
При цитировании информации ссылка на сайт обязательна.
Копирование материалов сайта ЗАПРЕЩЕНО!