Сопротивление короткого замыкания трансформатора с цилиндрическим витком

14.07.2018
При решении задачи о распределении тока в массивном цилиндрическом витке будем исходить из предположения, что плотность тока не зависит от координат ф и р (рис. 8.6). Это предположение близко к действительности при небольшом расстоянии А между контактными плитами и при относительно малой толщине вторичного витка.

Допустим, что часть первичной обмотки выключена, так что токопроводящая часть этой обмотки имеет не целое число слоев, как показано на рис. 8.7, а. В таком случае действительную систему обмоток можно представить себе в виде двух отдельных систем, совпадающих в пространстве.
Сопротивление короткого замыкания трансформатора с цилиндрическим витком

Первичная обмотка первой системы состоит из целого числа слоев, ее полный ток равен полному току действительной первичной обмотки (рис. 8.7, б). Полный ток вторичного витка равен по абсолютной величине и противоположен по знаку полному току первичной обмотки. При одинаковых осевых размерах и симметричном расположении обмоток ток распределяется практически равномерно по всей высоте вторичного витка. Поэтому определение сопротивления короткого замыкания первой системы обмоток не встречает затруднений.

Вторая система обмоток (рис. 8.7, в) при наложении на первую должна дать действительное распределение токов в обмотках. Поэтому полные токи как первичной, так и вторичной обмоток второй системы равны нулю.

Определим поле рассеяния второй системы, используя метод наложения гармонических обмоток. С этой целью мы вынуждены сделать еще одно допущение, а именно: будем считать, что торцы второй системы обмоток упираются в ферромагнитные поверхности |u = 00, y = 0|. Такое допущение, как показывают опытные данные, не вызывает существенных погрешностей. Введение ферромагнитных плоскостей позволяет рассматривать вторую систему обмоток как пару коаксиальных трубчатых проводников, имеющих бесконечно большую длину. Плотность тока в этих проводниках изменяется в осевом направлении по периодическому закону, причем период изменения равен 2т. Линейную плотность тока в этих проводниках можно представить в виде тригонометрических рядов:

Зависимость oI = f(z) нам известна. Зависимость oII = ф(z) требуется определить. Рассмотрим случай, когда AI и AII малы по сравнению с т. Выделим в объеме вторичного витка контур К (рис. 8.8). Прямолинейные отрезки длиной т/2n, являющиеся частями этого контура, параллельны образующим внешнего цилиндра. Две другие стороны контура представляют собой дуги окружностей, радиус которых равен а2. Положим, что длина каждой из дуг равна единице. Обходя контур в указанном направлении, можно составить следующее уравнение:

где у — удельная проводимость; Ф — магнитный поток, пронизывающий контур К.

Определим магнитный поток Ф, используя выражение для векторного потенциала цилиндрической обмотки с гармоническим законом распределения тока в осевом направлении:

где а — радиус обмотки;

функции Бесселя нулевого и первого порядка от мнимого аргумента.

В данном случае векторный потенциал двух гармонических обмоток n-го порядка при р = а2 будет равен

из уравнения (8.1) определим амплитуду линейной плотности тока во вторичном витке:

Поделив обе части выражения (8.5) на FI, получим

где VIn = oIn/FI — амплитуда п-й гармоники линейной плотности тока первичной обмотки при FI = 1; VIIn — амплитуда n-й гармоники линейной плотности тока во вторичном витке при FI = 1.

Потери во втором витке

где l2 — длина вторичного витка.

Плотность тока bII выражается через линейные плотности тока следующим образом:

где oII0 — линейная плотность тока во вторичном витке первой системы обмоток, равная F1/т.

Опуская простейшие преобразования, приведем окончательное выражение для потерь:

Если бы вторичный ток равномерно распределялся по всему витку, то

Следовательно, коэффициент потерь для вторичного витка

Ряд, входящий в последнее выражение, весьма быстро сходится. Обычно учет всего лишь одной или двух первых гармоник обеспечивает достаточно высокую точность.

Радиальное поле рассеяния, создаваемое гармоническими обмотками, вызывает добавочные потери не только во вторичном витке, но и в проводниках, из которых выполнена первичная обмотка. Однако добавочные потери в первичной обмотке из-за радиального поля рассеяния должны быть значительно меньше, чем во вторичном витке, так как осевой размер проводников первичной обмотки во много раз меньше ширины вторичного витка.

Перейдем к определению индуктивности рассеяния. В даном случае расчет индуктивности рассеяния по сравнению с ранее описанным усложняется тем обстоятельством, что токи в гармонических обмотках одного и того же порядка смещены во времени относительно друг друга на угол, отличный от нуля и 180°.

Определим энергию двух гармонических обмоток одного порядка применительно к данному случаю. Допустим, что

Соответственно векторные потенциалы

Так как энергия магнитного поля

то среднее значение энергии магнитного поля за период переменного тока будет равно

где vI, vII — объемы обмоток.

Первые два интеграла выражают собственные энергии обмоток, вторые два — взаимную энергию и должны быть равны друг другу. Взаимные энергии гармонических обмоток разного порядка равны нулю, поэтому энергия поля рассеяния трансформатора

Индуктивность рассеяния, приведенная ко вторичной цепи,

Используя данные, приведенные в ранее опубликованной работе, а также учитывая выражение (8.9), получим

где kR — коэффициент Роговского, определенный для первой системы обмоток;

Ряд, входящий в выражение (8.10), очень быстро сходится. Для достаточно точного расчета необходимо учесть всего лишь один-два первых члена. Формулы (8.8) и (8.10) справедливы для весьма тонких обмоток. Однако их можно применять и для расчета реальных трансформаторов при A1 << т и A2 << т. Осевые составляющие поля в приведенном расчете принимаются во внимание с учетом действительных радиальных размеров обмоток (первая система обмоток). Неравномерное распределение тока по толщине вторичного витка можно учесть, используя известное соотношение для проводников, находящихся во взаимно перпендикулярных переменных магнитных полях:

где k''nII = ф(d) — коэффициент потерь для вторичного витка первой системы обмоток. Функция ф(d) может быть взята из графика (рис. 8.9), коэффициент

где у — проводимость.

В процессе проектирования большое значение имеют способы приближенной оценки тех или иных величин, ориентирующие проектировщика при выборе наиболее рациональной конструкции. Выше было установлено, что каждой n-й гармонике плотности тока первичной обмотки соответствует n-я гармоника плотности тока во вторичном витке. Отношение модулей амплитуд этих гармоник

что следует из выражения (8.5).

Это обстоятельство позволяет утверждать следующее:

а) потери во вторичном витке, вычисленные в предположении VI = VII (рис. 8.10, а), должны быть больше действительных потерь;

б) реактивное сопротивление короткого замыкания, вычисленное в предположении VII = -VI0 (рис. 8.10, б), должно быть больше действительного.

К рассмотренному типу трансформаторов можно отнести так называемые кольцевые трансформаторы, получившие применение для стыковой сварки труб.

Обмотки кольцевых трансформаторов обычно равномерно распределяются по всему кольцевому сердечнику. Для регулирования напряжения конструктивно проще применить отдельный автотрансформатор, чем секционировать первичную обмотку. Благодаря осевой симметрии поля рассеяния расчет сопротивления короткого замыкания трансформатора не представляет затруднений. В большинстве случаев возможно подразделить обмотки трансформатора на ряд участков, для которых диаграмма напряженностей магнитного поля имеет форму трапеции или близка к ней (рис. 8.11). Тогда индуктивность короткого замыкания может быть выражена в виде суммы индуктивностей отдельных участков. Для участка, показанного на рис. 8.11, о, напряженность магнитного поля в зазоре между катушками

где I — вторичный ток.

Опуская несложные вычисления, приведем окончательное выражение для индуктивности элемента:

где с — расстояние между обмотками; а и b — размеры обмоток (рис. 8.11, а).

Напряженность поля между обмотками и в объеме обмоток участка (рис. 8.11, б) также зависит от диаметра. Обычно расстояние между обмотками с, а также размеры а и b значительно меньше среднего диаметра Dcp. Поэтому с достаточной точностью диаграмма напряженности поля рассеяния может быть представлена в виде трапеции с высотой

Индуктивность элементов сложной конфигурации (рис. 8.11, с) может быть определена путем подразделения этих элементов на отдельные участки, в которых напряженность магнитного поля может быть принята постоянной. Тогда

где Hn = In/пDn; In — полный ток, охватываемый n-м кольцевым контуром, или, если выделять кольца малой толщины,

В некоторых случаях расчетные формулы можно свести к более привычному виду. Для этого следует элементы, указанные на рис. 8.11, распрямить, сохранив прежней среднюю длину. Для элемента а получается следующее выражение:

Для элемента б приведенное выше упрощенное выражение сохраняется прежним. Индуктивность элемента b может быть определена по формуле

где Dпр — средний диаметр элемента; S0 — площадь, охватываемая элементом; Sпр — площадь сечения проводников радиальной плоскостью.

Формулы (8.15) и (8.16) можно применять лишь при ограниченном соотношении D2/D1. Сравнительные расчеты показывают, то эти формулы дают заниженные результаты, причем при D2/D1 = 1,6 погрешность составляет примерно 2 %, при D2/D1 = 2 — примерно 4 %. При дальнейшем увеличении D2/D1 погрешность быстро растет. Для практических расчетов формулы (8.15) и (8.16) следует считать пригодными, если D2/D1 < 2.

В некоторых случаях обмотки кольцевых трансформаторов выполняют в виде отдельных катушек, сердечник разделяют на две одинаковые половины, а секции вторичного витка соединяют отдельными перемычками. В связи с осевой симметрией представляется возможным разделить трансформатор на ряд одинаковых секториальных элементов (рис. 8.12). Индуктивности заштрихованных частей обмоток можно с достаточной точностью вычислить по формуле Роговского, пренебрегая взаимной связью полей рассеяния соседних элементов. Индуктивность рассеяния остальных частей может быть найдена по приведенным выше формулам (8.13) и (8.14), в числители которых следует ввести число элементов k = 2п/ф. При этом приходится считать, что перемычки между вторичными секциями имеют форму замкнутых колец. Полученный таким образом результат будет отличаться от действительного в меньшую сторону вследствие указанного допущения. Добавочная индуктивность, обусловленная тем, что перемычки между вторичными секциями в действительности не имеют формы замкнутых колец, может быть сугубо ориентировочно определена по формуле Е.Г. Марквардта при условии «распрямления» контура, по которому располагаются перемычки. Общее сопротивление короткого замыкания трансформатора в k раз меньше сопротивления секториального элемента.