Сопротивление короткого замыкания трансформатора с симметричными дисковыми обмотками

14.07.2018
Для упрощения задачи необходимо сделать ряд существенных допущений. Прежде всего придется не считаться с радиальной неравномерностью распределения тока в тех частях вторичного витка, которые удалены от выводов (рис. 8.13). При принятом допущении в объеме обмоток преобладающими являются радиальные составляющие поля рассеяния, как в обычном силовом трансформаторе с дисковыми обмотками. Осевое направление поля рассеяния преобладает лишь в небольшом объеме вблизи зазора между выводами. Поэтому сопротивление короткого замыкания трансформатора можно с достаточной точностью выразить в виде суммы
Сопротивление короткого замыкания трансформатора с симметричными дисковыми обмотками

где zб.в — сопротивление короткого замыкания трансформатора без выводов; zв — сопротивление вторичных витков.

Сопротивление zб.в определяется обычным путем.

Перейдем к определению той доли сопротивления короткого замыкания трансформатора, которая приходится на выводы и части обмоток, находящихся в непосредственной близости к выводам.

При расчете индуктивности рассеяния обычных трансформаторов с чередующимися дисковыми обмотками часто рассматривают не ограниченный, а бесконечный в осевом направлении ряд чередующихся проводников. В данном случае придется принять это допущение, поскольку оно не влечет за собой больших погрешностей и существенно облегчит решение поставленной задачи. Это допущение позволяет рассматривать всего лишь один элемент обмотки (рис. 8.14), ограниченный в осевом направлении идеальными ферромагнитными плоскостями (u = 00; у = 0).

Во избежание чрезмерного усложнения задачи мы вынуждены учитывать лишь одну составляющую вектора магнитной индукции Bz = В, полагая By = Bx = 0. Такое допущение может быть приемлемым лишь в том случае, если т значительно меньше радиальных размеров обмоток, т. е. т << а. Из последнего допущения следует, что в объеме обмоток могут быть лишь две составляющие плотности тока, параллельного осям х и у. Для удобства начало координат перенесем в точку 0'. При обходе контура K1, параллельного плоскости YOZ, получим

где bx — составляющая плотности тока во вторичном витке; H — напряженность магнитного поля; с — половина толщины вторичного диска (см. рис. 8.14).

При обходе контура K2, параллельного плоскости XOZ, получим

где F1 — намагничивающая сила (н. с.) первичной катушки; by — составляющая плотности тока во вторичном витке.

Связь между плотностью тока во вторичном витке и напряженностью магнитного поля вытекает из второго уравнения Максвелла:

Дифференцируя уравнение (8.17) по у, а уравнение (8.18) по х и используя уравнение (8.19), находим

При решении уравнения (8.20) примем следующие граничные условия:

Три первых граничных условия вытекают непосредственно из рассмотрения магнитного поля в области выводов в соответствии с принятыми выше допущениями. Четвертое граничное условие не соответствует строгой картине магнитного поля, однако, как показывает опыт, близко к истине. Это граничное условие позволяет заметно упростить дальнейшие математические операции, так как оно ограничивает рассматриваемую область прямоугольником 0 < х < h; 0 < у < а. Вследствие принятого допущения (H = 0 при у = 0) должна быть получена погрешность при расчете активного и реактивного сопротивлений. По-видимому, эта погрешность должна быть небольшой, поскольку основная часть энергии магнитного поля сосредоточена в удаленной от плоскости у = а области.

Решение уравнения (8.20) будем искать в виде произведения двух функций

В этом случае исходное уравнение (8.20) распадается на два отдельных уравнения:

где Л2 — некоторая постоянная.

Решение уравнения (8.27) может быть записано в следующем виде:

Так как при х = 0 напряженность магнитного поля H = 0, то D = 0.

Мы рассматриваем идеальное короткое замыкание трансформатора, т. е. считаем, что вторичные витки соединяются между собой идеально проводящим телом (у = 00), имеющим плоскую поверхность AA (рис. 8.15). Очевидно, что электромагнитное поле в рассматриваемом объеме не изменится, если идеально проводящее тело заменить зеркальными изображениями обмоток. Последние должны иметь обратное направление токов.

Возможность такой замены вытекает из условия эквипотенциальности поверхности АА.

Вследствие симметрии

Следовательно, sin Л2h = 0 или Л = к п/2h, где к — целое число. Функция X должна содержать только нечетные гармоники. Поэтому решение уравнения (8.21) может быть записано в следующем виде:

Перейдем к решению уравнения (8.22). Правая часть уравнения

Перемножив функции X и Y, найдем выражение для напряженности магнитного поля В в виде бесконечного ряда:

Исходя из граничных условий,

Таким образом, выражение для напряженности магнитного поля нам известно. Используя уравнения (8.18) и (8.23), можно найти плотности тока во вторичном витке и напряженность электрического поля.

Найдем потери энергии во вторичных витках. Вектор Умова-Пойтинга нормален лишь в одной поверхности вторичного вывода у = 0. Поэтому комплекс мощности потерь для пары выводов

где H — комплекс, сопряженный с комплексом H. После интегрирования получим

Определив вещественную часть комплекса Р, равную активной мощности, и поделив последнюю на I2, найдем выражение для активного сопротивления вторичных выводов:

Индуктивность рассматриваемого объема обмоток может быть представлена в виде суммы

По отношению ко вторичным виткам Lв' представляет собой «внешнюю» индуктивность, a Lв'' — «внутреннюю». Опуская несложный вывод, приведем выражение для индуктивного сопротивления:

где A — расстояние между выводами (см. рис. 8.14).

Индуктивное сопротивление хв'' = wL'' найдем через среднее значение энергии поля рассеяния:

где H — действующее значение напряженности магнитного поля.

Так как Lв'' = 2Wср/I2, то при I = F1, используя выражение (8.23), получим

Таким образом, мы получили формулы для расчета активного (8.24) и индуктивного (8.26) и (8.25) сопротивлений выводов вторичного витка трансформатора с симметричными обмотками. Результаты расчета по указанным формулам необходимо делить на 2п, где п — число параллельных секций вторичного витка.

Расчет по полученным формулам (8.24) и (8.26) в значительной мере облегчается тем, что ряды, входящие в эти формулы, весьма быстро сходятся. Для вычисления Rв и хв'' при обычных для сварочных трансформаторов размерах обмоток достаточно учесть лишь первые члены (к = 0). Обычно а4 >> Л4. Поэтому e0 = а; фк = п/2; е0д = е0м = а/V2.

При t0da = e0ма > 2 формулы (8.24) и (8.26) упрощаются. При этом

Из формул (8.24), (8.26) вытекает, что:

1. Увеличение радиального размера дисков а' при реальных значениях а ведет к увеличению как реактивного, так и активного сопротивлений (рис. 8.16).

2. При а4 >> Л04 увеличение размера а свыше 1,5 V2/a не сопровождается снижением активного сопротивления (рис. 8.17) и с этой точки зрения бесполезно.

Как показывает опыт, приведенные выше формулы обеспечивают достаточную для практических целей точность.