Сопротивление короткого замыкания трансформатора с несимметричными дисковыми обмотками

14.07.2018
Рассмотрим трансформатор, имеющий n вторичных параллельных секций и 2n первичных катушек (рис. 8.18, а). Намагничивающие силы первичных катушек f1, f2, ..., f2n в общем случае различны.

Воспользуемся методом наложения и представим действительную систему обмоток в виде трех совмещенных в пространстве систем: двух симметричных (рис. 8.18, б и в) и одной несимметричной (рис. 8.18, г).

Первая система представляет собой трансформатор с симметричными чередующимися обмотками. Намагничивающая сила каждой первичной катушки равна
Сопротивление короткого замыкания трансформатора с несимметричными дисковыми обмотками

где F1 — полная намагничивающая сила первичной обмотки; fк — намагничивающие силы первичных катушек. Токи во вторичных секциях также одинаковы и равны

Сопротивление короткого замыкания первой системы обмоток может быть определено на основании данных предыдущего параграфа. Вторая система первичных намагничивающих сил магнитно не связана со вторичной обмоткой. Соответствующие этой системе вторичные токи равны нулю. Третья система первичных н. с. представляет собой разность между действительной системой и первыми двумя системами. Полная намагничивающая сила всех первичных катушек этой системы

В отличие от второй системы третья создает магнитные потоки, сцепляющиеся с секциями вторичного витка. В связи с этим токи I'IIк отличны от нуля, однако их сумма

Определим намагничивающие силы a2, f1', f2', ..., f2n'. Для этого составим 2n + 1 уравнений:

Из этих уравнений находим

Докажем теперь, что указанные выше три системы обмоток магнитно не связаны, т. е. энергия поля рассеяния трансформатора

где WI, WII и WIII — энергии магнитных полей соответственно первой, второй и третьей систем, рассматриваемых независимо друг от друга. Другими словами, требуется доказать, что взаимные энергии

Для упрощения последующих рассуждений допустим, что рассматриваемые обмотки находятся по всей своей длине в окне магнитной системы. При этом можно считать, что поле рассеяния имеет всего одну радиальную составляющую, а диаграммы в виде трапеций (показанные на рис. 8.12) соответствуют диаграммам напряженности магнитного поля. Для доказательства построим диаграммы напряженностей магнитного поля, соответствующие отдельным намагничивающим силам третьей системы обмоток (рис. 8.18, д).

Рассмотрим интеграл

где Нб — напряженность поля первой системы обмоток (рис. 8.18, б); Hfк' — напряженность поля, соответствующая намагничивающей силе fк' третьей системы обмоток (рис. 8.18, д).

Как видно из диаграмм, слагаемые указанного интеграла можно представить в следующем виде:

где g1, g2... — коэффициенты пропорциональности.

Если g1 = g2 = g3 ... = g, что практически всегда имеет место, то

На этом основании мы можем сделать вывод о том, что первая и третья системы магнитно не связаны. Рассмотрим теперь вторую и третью системы. Допустим, что n (число вторичных секций) — четное число. Тогда, как следует из диаграмм в и г,

где p и q — коэффициенты пропорциональности, зависящие от геометрических размеров катушек и секций.

В случае нечетного количества вторичных секций результаты получаются аналогичными. Совершенно очевидно также, что

Итак, мы доказали, что при вычислении энергии магнитного поля рассеяния (или индуктивности рассеяния) указанные выше три системы обмоток можно рассматривать обособленно. Аналогичным путем можно показать, что при вычислении потерь энергии AP системы обмоток также можно рассматривать обособленно, т. е. определять потери как сумму:

где API, APII и АРIII — потери соответственно в первой, второй и третьей системах обмоток.

Сопротивление короткого замыкания первой системы обмоток может быть вычислено при помощи данных, приведенных в предыдущем параграфе. He представляет каких-либо затруднений расчет второй системы обмоток. Сложнее обстоит дело с расчетом третьей системы обмоток. Трудности, связанные с расчетом этой системы обмоток, можно до некоторой степени обойти, если учесть, что на вторую и третью системы обычно приходится меньше половины сопротивления короткого замыкания нормально сконструированного трансформатора. Как показывает опыт, больше половины сопротивления приходится на первую систему обмоток. В связи с этим расчет третьей системы обмоток представляется возможным упростить за счет ряда допущений.

Основное затруднение при расчете третьей системы обмоток заключается в оценке сопротивления выводов вторичных секций. Поле рассеяния в этой области трансформатора настолько сложно, что его пока не удается исследовать аналитически. Чтобы не усложнять дальнейшие расчеты, мы примем без больших на это оснований, что сопротивление выводов секции вторичного витка в данном случае такое же, как и для первой системы обмоток. До некоторой степени такое допущение оправдывается тем, что в выводах секций третьей системы должно наблюдаться примерно такое же распределение токов, как в выводах первой системы. Основные причины, вызывающие неравномерное распределение токов в секциях, сохраняются и в данном случае.

Для упрощения расчета желательно также принять, что в объеме третьей системы обмоток имеет место только радиальная составляющая поля рассеяния. Другими словами, мы будем считать, что третья система обмоток находится между ферромагнитными плоскостями (u = 00; у = 0) причем расстояние между этими плоскостями в точности равно радиальному размеру катушек.

Для того чтобы перейти к расчету сопротивления короткого замыкания, необходимо найти токи в параллельных секциях вторичного витка. Рассмотрим пару соседних секций р и q (рис. 8.19). Для этой пары, образующей замкнутый контур, можно составить следующее уравнение:

Магнитный поток Фpq можно представить в виде суммы двух потоков Фpq' и Фpq''. Первый магнитный поток создается всей системой намагничивающих сил, кроме намагничивающих сил секций р и q. Второй магнитный поток создается только намагничивающей силой секций р и q, т. е.

где Lc — индуктивность замкнутого контура, образуемого двумя соседними секциями. Следовательно,

откуда разность токов

Остановимся сначала на трансформаторах, рассчитанных на нормальную частоту f = 50 Гц. В большинстве случаев wLc >> Rc. Поэтому при определении АIpq можно пренебречь активным сопротивлением вторичных секций, т. е. считать, что

Определим токи в секциях вторичного витка, полагая сопротивление секций равным нулю. Допустим, что индукция в объеме между второй и третьей катушками первичной обмотки равна нулю. По известным полным токам f2' и f3' построим диаграмму индукции между первой и второй секциями вторичного витка (рис. 8.20).

Разность заштрихованных площадей ABCD и EFGH должна быть пропорциональна магнитному потоку, который сцепляется с короткозамкнутым витком, образованным первой и второй секциями вторичного витка. Поскольку сопротивление этого витка мы считаем ничтожно малым, то магнитный поток, сцепленный с ним, должен быть равен нулю. Следовательно, нулевая линия на диаграмме индукции должна быть смещена в сторону большей из заштрихованных площадок на величину AВ, которую можно найти из условия равенства площадок A'BCDEE' и E'FGH'.

Обходя по контуру, показанному на рис. 8.20 пунктирной линией, получим

Аналогично можно получить выражение для тока в k-й секции вторичного витка

Из последнего выражения вытекает, в частности, что полному току первичной катушки f' с любым номером от 2 до 2n - 1 соответствуют токи только в двух соседних секциях вторичного витка р и q, причем


d — расстояние между первичной катушкой и секцией р; b — толщина первичной катушки.

Крайним первичным катушкам с номерами 1 и 2n соответствуют токи только в крайних секциях вторичного витка, равные и противоположные по знаку полным токам первичных катушек.

Подсчитанные таким образом токи в параллельных секциях обычно несколько отличаются от действительных, причем расчет дает несколько большую неравномерность распределения токов, что вполне согласуется с принятыми допущениями. По известным токам в секциях вторичного витка нетрудно определить потери в обмотках и энергию поля рассеяния. Обмотки можно рассматривать как проводники, уложенные в паз электрической машины. При этом потери энергии вычисляются по формуле

где APp — потери в р-м слое (в первичной катушке или в секции вторичного витка) при постоянном токе;

коэффициент потерь для р-го слоя; Ip — полный ток р-го слоя; Iu — полный ток в объеме между дном паза и р-м слоем (рис. 8.21); а — угол между векторами токов Ip и Iu; ф(в) и w(в) — функции «приведенной высоты проводника» (см. рис. 8.9),

Потери в выводах

где Rв — сопротивление вывода от вторичной секции, вычисленное для первой системы обмоток. Потери в третьей системе обмоток

Активное сопротивление короткого замыкания

где Iср — средняя длина витка; bp — высота р-го слоя (см. рис. 8.21);

ф'(р) и w(р) «функции приведенной высоты проводника» в (см. рис. 8.9).

Для промежутков между катушками

Энергия поля рассеяния выводов

где Lв.с — индуктивность выводов от вторичной секции, вычисленная для первой системы обмоток.

Энергия поля рассеяния третьей системы обмоток

Реактивное сопротивление короткого замыкания

Рассмотрим теперь случай, когда реактивное сопротивление wLc соизмеримо с активным Rc или даже меньше его. Такое соотношение между сопротивлениями может встретиться в трансформаторах для сварки токами низкой частоты и т. п.

Допустим, что нашли токи в секциях вторичного витка, полагая активное сопротивление секций равным нулю. При найденном таким образом распределении токов отсутствуют результирующие магнитные потоки между любыми двумя соседними секциями вторичного витка. Однако действительные активные падения напряжения в секциях от токов I'IIк отличны от нуля. Поэтому по секциям вторичного витка, кроме токов I'IIк должны протекать токи АIIIк под действием э.д.с. Eк = -IIIкRс. Учитывая принятые допущения, а также симметрию рсположения обмоток относительно средней плоскости, нетрудно найти токи АIIIк и затем по приведенным выше формулам подсчитать активное и реактивное сопротивление короткого замыкания.

Определим AIIIк для нескольких практически возможных случаев.

1. Количество вторичных секций n = 4. Вследствие симметрии обмоток

Для контура, образованного двумя соседними секциями 1 и 2.

Опуская выкладки, приведем основные формулы еще для двух случаев, которые могут встретиться на практике.

2. Количество вторичных секций n = 5.

3. Количество вторичных секций n = 6.