Теоретические и экспериментальные результаты изучения масштабного эффекта горных пород

12.11.2019

Дискуссия о природе и роли масштабного эффекта, проведенная по инициативе акад. Н.Н. Давиденкова в журнале "Заводская лаборатория", показала, что из всех теорий, объясняющих этот эффект, наиболее распространенными являются статистические.

В основу всех известных статистических теорий прочности положен принцип, по которому прочность всего тела определяется прочностью самого слабого места (дефекта). Дефекты внутреннего строения тела в соответствии с теорией Гриффитса можно представить в виде трещинок, расположенных внутри напряженного тела, а также пор, слабых минералов. Эти дефекты предполагаются статистически распределенными по всему объему образца, поэтому все статистические теории имеют одинаковые качественные выводы и следствия.

Основные из них следующие:

1. Рассеяние экспериментально замеряемых значений прочности закономерно.

2. Среднее значение прочности зависит от объема рабочей части нагружаемого тела. Вследствие этого прочность при переходе к более неоднородному напряженному состоянию при сохранении размеров тела повышается (например, при переходе от растяжения к изгибу).

3. Степень рассеяния характеристик прочности зависит от размеров образцов (при испытании мелких образцов она всегда выше, чем при испытании крупных).

4. Зависимость среднего значения прочности от размеров образцов имеет затухающий характер, т.е. чем крупнее испытываемые образцы, тем меньше изменение прочности, и, следовательно, масштабный эффект проявляется в наибольшей степени у мелких образцов.

Следствием первого и третьего выводов является большая чувствительность к изменению размеров верхней границы зоны рассеяния данных и малая зависимость от размеров нижней границы зоны рассеяния.

Для описания проявления масштабного эффекта предложено несколько уравнений.

Первой теоретической работой, объясняющей проявление масштабного эффекта, является работа Гриффитса, посвященная явлению разрыва и текучести твердых тел. В ней содержится вывод, что "разрывная нагрузка тонкой пластины стекла, имеющей достаточно длинную, прямую трещину, нормальную к приложенному напряжению, обратно пропорциональна квадратному корню длины трещины".

В 1939 г. В. Вейбулл предложил другую зависимость прочности от размеров испытываемых образцов в условиях растяжения, кручения и изгиба:

где о0, а — константы материала; I — константа для данного напряженного состояния; L — нормирующий коэффициент; V — рабочий объем образца.

Постоянная в по Вейбуллу характеризует степень однородности материала. Чем больше величина а, тем меньше зависит прочность от объемов тел.

Т.А. Конторова и Я.И. Френкель, использовав нормальный закон распределения "дефектов" по опасности их в отношении величины прочности, предложили формулы для образцов большого объема

и образцов малого размера

где A, В, a, b, R0 — константы, зависящие от напряженного состояния и природы материала.

С.Д. Волков, анализируя масштабный эффект с позиции "интенсивности масштабного эффекта", подтвердил выводы Вейбулла, а. Л.Г. Седракян теоретически вывел формулу

где Rmax, Rmin — соответственно верхние и нижние значения местной прочности; un'n' (oi) — вероятность разрушения стренги при решении вспомогательной задачи о прочности каната; а — постоянный множитель.

Для растяжения формула (4.4) принимает вид

где А, а — константы материала.

А.П. Александров и С.Н. Журков для описания зависимости прочности стеклянных нитей от их диаметра предложили формулу

где а, b — константы; d — диаметр нити.

Для небольших зерен минералов М.И. Койфман получены следующие зависимости:

где F — разрушающая нагрузка, даН; d — линейные размеры, мкм.

Для одноосного сжатия кубиков угля различного размера Иванс, Померой и Биренбаум получили зависимость

где A, n — константы; d — длина ребра кубика.

Холланд для углей предложил формулу Гриффитса R = A/Vd (при d не более 200 см).

М.М. Протодьяконов для математического выражения проявлений масштабного эффекта предложил уравнение смещенной гиперболы:

где Rм — прочность трещиноватого массива, Па; m — коэффициент трещиноватости, показывающий, во сколько раз прочность нетрещиноватого материала выше прочности массива; d — диаметр образцов, см; b — постоянная трещиноватости, см.

В работах Р.А. Муллера, Л.Г. Седракяна и В.В. Болотина, посвященных статистическому исследованию прочности, показано, что использование кривой нормального распределения для описания разброса пределов прочности материалов (как это было использовано Г.А. Конторовой и Я.И. Френкелем и широко используется исследователями в настоящее время), является мало обоснованным, поскольку нормальный закон допускает изменение признака в пределах от -00 до +00, тогда как прочность является величиной существенно положительной, нижний предел которой не может быть меньше нуля. Поэтому, чтобы учесть физические и статистические предположения хрупкого разрушения, следует использовать третье предельное распределение наименьших значений, функция вероятностей которых имеет вид

Основываясь на третьем предельном распределении наименьших значений вариационного ряда в соответствии со статистической теорией прочности, В.В. Болотин дает наиболее общие формулы зависимости среднего предела прочности от объема образцов:

где а, в, Rmin — параметры функции распределения; V0 — некоторый эталонный объем образца; Г (1 + 1/2) — гамма-функция.

Для использования уравнений (4.12) необходимо знать величины параметров а, 0, Rmin, которые можно получить из статистической обработки мaccовых испытаний образцов типового, фиксированного объема на основе плотности вероятности распределения. Оценка указанных параметров распределения может быть осуществлена методом моментов. Суть этого метода состоит в требовании совпадения теоретической и эмпирической кривой с точностью до момента третьего порядка.

Для решения уравнений методом моментов находятся выборочные средние R, стандарт А и асимметрия А по формулам


Приравнивая асимметрию ее теоретическому значению

получаем нелинейное уравнение относительно а.

Решив уравнение (4.16) и подставив значение а в условие равенства эмпирического и теоретического стандартных отклонений

определятся в.

Значение Rmin находится из условия

С помощью формул (4.16—4.18) составлен график (рис. 4.2), пользуясь которым по значениям выборочных характеристик и формулам

находятся неизвестные параметры распределения а, в и Rmin.

Для проверки этой статистической методики оценки масштабного эффекта была выполнена статистическая обработка данных о прочности ряда углей (приложения 2, 3, 4) и горных пород при сжатии (табл. 4.5).

Для сопоставления теоретического и экспериментально установленного проявлений масштабного эффекта построена табл. 4.6.

Большинство исследователей масштабного эффекта в горных породах не приводят данных об асимметрии распределения показателей прочности, а говорят о, якобы, нормальном их распределении и приводят значения вариации этих показателей. При нормальном распределении асимметрия равна нулю, а значение параметра однородности а (см. рис. 4.2) равно 3,6. Однако, нормальная кривая может описать лишь. симметричные распределения, а кривые распределения прочности, как утверждает Р.А. Муллер, в большинстве своем, асимметричные или псевдосимметричные (по Э. Гумбель). Отнесение многими исследователями распределения показателей прочности к нормальным говорит о том, что величина асимметрии в большинстве своем незначительно отклоняется от нуля в стороны положительных или отрицательных значений. Величина коэффициента вариации, как и параметра однородности а, является, по существу, также характеристикой неоднородности горных пород. Для пород неоднородных коэффициенты вариации показателей прочности всегда выше, чем для пород однородных. Попытка установить связь между двумя этими показателями для пород, испытанных при одноосном сжатии, показала, что с увеличением коэффициента вариации показателей прочности асимметрия распределения увеличивается, а параметр однородности уменьшается. Однако теснота связи низкая. Результаты испытаний явно неоднородных горных пород показали, что для наиболее однородных горных пород с коэффициентами вариации до 4 %, параметр однородности будет изменяться от 3,2 до 5,5. При этом асимметрия распределения близка к нулю, и даже может быть отрицательной. Минимальное значение параметра однородности наблюдалось У газовых углей Донбасса. По-видимому, для горных пород это значение следует признать близким к минимальному. Тогда значения параметра однородности а для горных пород будут в пределах 1,5/5,5, что почти совпадает с симметричным распределением.

Теперь посмотрим, какую ошибку допустим в расчетах по уравнению (4.12), используя нормальное распределение и известные нам коэффициенты вариации показателей прочности. Для этого уравнение (4.12) преобразуем следующим образом, подставив значения параметров распределения по уравнению (4.18, 4.19):

Обобщение результатов испытаний горных пород при одноосном сжатии показало, что для пород с пределом прочности Rо = 10 МПа коэффициент вариации v изменяется в пределах 4/40 %, а параметр а при v = 4% может измениться от 3 до 6,6, а при v = 40 % от 1,5 до 2,5,

Нетрудно подсчитать, что для горной порода с коэффициентом вариации значений прочности 4% коэффициент А, выраженный (2.22), изменяется всего лишь с 0,934 до 0,942 при изменении параметра а от 3,0 до 5,5, т.е. менее чем на один процент.


Для горной породы с коэффициентом вариации значений прочности 0,4 (40%) коэффициент А изменится с 0,34 до 0,415, т.е. всего на 7 %. При "нормальном" распределении, когда а = 3,6, величина коэффициента А будет иметь промежуточное значение и поэтому ошибка в вычислении коэффициента А не будет больше нескольких процентов, что вполне допустимо в подобного рода расчетах. Это дает основание предложить для расчета масштабного эффекта в горных породах следующие выражения:

Однако, коэффициент вариации значений прочности, рассчитанный по экспериментальным данным, является не только следствием неоднородности горных пород, но включает в себя вариацию показателей за счет несовершенства методики испытаний, качества подготовки образцов и т.д. Оценить суммарное их влияние весьма сложно. Учитывая вариацию показателей прочности за счет несовершенства методики испытаний и качества приготовления образцов уравнения масштабного эффекта I и II рода будут:

Что касается масштабного эффекта III рода (по М.В. Рацу — изменение степени асимметрии распределения), то, как показывает анализ экспериментальных данных, она с увеличением размеров, вследствие уменьшения вариации значений прочности, уменьшается и стремится к нулю.

Для сопоставления значений прочности рассчитанных по выведенным упрощенным уравнениям статистической теории (4.26) с экспериментально установленными значениями построена табл. 4.7.



Зависимости масштабного эффекта в горных породах при растяжении будут аналогичны зависимостям, описывающим масштабный эффект при сжатии. Учитывая, что на показатели прочности при растяжении, определяемые методом раскалывания, окажут влияние не все дефекты раскалываемого образца, а лишь дефекты, сосредоточенные вблизи плоскости раскола, формулы (4.12) целесообразно написать в виде

Уменьшая определенную при экспериментах вариацию показателей прочности за счет несовершенства методики испытаний на 0,08, получим

Из табл. 4.7 следует, что для горных пород проявление масштабного эффекта может быть весьма надежно описано уравнениями статистической теории хрупкой прочности, а вот для описания проявления масштабного эффекта в углях эти уравнения явно непригодны. Минимальное значение прочности в углях, оцененное по параметрам распределения значений прочности при испытании образцов малого размера, в несколько раз больше пределов прочности, определенных при натурных крупномасштабных испытаниях.

Такое различие в закономерностях проявления масштабного эффекта в горных породах и углях связано с особенностями трещиноватости углей, С увеличением размеров испытываемых образцов в последних появляются новые, более крупные трещины, так называемые трещины низшего порядка, которые не оказали заметного влияния на параметры распределения показателей прочности при испытании образцов малого размера. Поэтому применять уравнение статистической теории хрупкой прочности для оценки прочности углей в образцах другого размера можно только в узких пределах изменения размеров образцов.

Для оценки прочностных свойств горных пород можно рекомендовать уравнения (4.12, 4.26—4.28) при условии, если параметры распределения значений прочности оценивались на достаточно представительных образцах. Минимальный размер образца должен выбираться из условия, что образующие горную породу структурные элементы входят в объем образца в количествах, достаточных чтобы получаемые показатели прочностных и деформационных свойств можно было рассматривать как свойства самой породы, а не отдельных структурных элементов.

Зависимости прочности углей от размеров образцов были установлены в работе. На графиках с двойной логарифмической сеткой они приближаются к прямым линиям и описываются уравнениями

где Rр, Rсж — прочность угля соответственно при растяжении и одноосном сжатии в образцах сечением S; R'p, R'сж — прочность угля соответственно при растяжении и одноосном сжатии в образцах сечением S', определенные опытным путем; n — показатель степени масштабного эффекта

где R1 — прочность в образцах меньшего размера площадью S1; R2 — прочность в образцах большего размера площадью S2.

Выражения (4.38) являются по существу уравнениями Вейбулла, т.е. близки к уравнениям статистической теории хрупкой прочности. Отличие их заключается в том, что показатель неоднородности найден не по параметрам распределения показателей прочности, полученных при испытании одного размера образцов, а по зависимости прочности углей от размеров образцов, учитывающей ослабляющее влияние нескольких систем трещин.

Аналогичные закономерности проявления масштабного эффекта нами получены совместно с В.В. Шип-Стафуриным при определении контактной прочности антрацитов Восточного Донбасса. Эти закономерности не согласуются с результатами исследований проявления масштабного эффекта в горных породах вследствие влияния не одной, а ряда систем трещин низшего порядка, которые при вдавливании штампов большого сечения приводят к дополнительному снижению значений контактной прочности антрацитов.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2019
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на сайт обязательна