Связь между аналитическими выражениями магнитного и гравитационного полей

В теории потенциала доказывается, что аналитическое выражение магнитного потенциала может быть представлено первой производной гравитационного потенциала, напряженность магнитного поля — второй производной гравитационного потенциала или первой производной выражения силы тяжести и т. д. Эти соотношения отражают тот факт, что сила тяжести создается всей массой, заполняющей объем тела, тогда как сила магнитного притяжения при однородной намагниченности может рассматриваться как результат наличия магнитных масс, распределенных только на поверхности намагниченного тела в соответствии с формулой (11,2).
В практике магниторазведки и гравиразведки установленная связь открывает возможность пользоваться аналитическими выражениями одного поля через другое, пользоваться одинаковыми приемами вычислений геометрических параметров тел и физических величин (избыточной плотности или намагниченности).
Связь между магнитным потенциалом U и гравитационным потенциалом V при однородной намагниченности (J = const) имеет следующий вид (формула Пуассона):

где k — гравитационная постоянная, равная 66,7*10в-9;
δ — избыточная плотность;
α, β, и γ — углы, образуемые вектором J с координатными осями.
В дальнейшем множитель kδ опущен.
Напряженность магнитного поля по осям будет:

Если намагниченное тело имеет цилиндрическую форму и размеры тела по оси цилиндра бесконечно большие, то, совмещая длинную ось тела с осью у, получим напряженность поля H и Z по направлению, перпендикулярному к простиранию, в следующем виде:

По свойству потенциальной функции имеем

а при двухмерной задаче, т. е. когда потенциал по оси у остается постоянным,

При вертикальном намагничивании тела по оси z в предположении, что вектор намагниченности J совпадает по направлению с намагничивающим полем, составляющая по горизонтальной оси Jx = 0, следовательно

Последние выражения показывают, что если какие-либо горные породы обладают избыточной плотностью и намагниченностью, при условии вертикальной направленности вектора намагниченности, то в однородной среде они создадут гравитационную и магнитную аномалии, которые, при соответствующем масштабе графического изображения, будут одинаковыми. Заметим, что речь идет не о поле Δg, а о поле (Δg)' zΔх и (Δg)'z Δz. Величиной, пропорциональной полю Δg, будет поле магнитного потенциала U = ∫Hdx.