Магнитное поле пласта большой мощности

Зная аналитическое выражение поля пласта малой мощности, легко решить задачу о напряженности поля пласта большой мощности, т. е. когда мощность сравнима с глубиной залегания или превосходит последнюю. На рис. 67 и 68 изображены разрез пласта и кривые Z и H над пластом в плоскости, перпендикулярной к простиранию. Начало координат примем в точке, являющейся проекцией середины верхней кромки. На расстоянии r от начала координат вырежем пласт мощностью dr с тем же углом падения. Напряженность поля dZ от элементарного пласта по формулам (41,10) будет

Если видимую мощность пласта считать равной 2b, то напряженность поля Z от всего пласта будет интегралом по dr в пределах от -b до +b. Ho при интегрировании нужно иметь в виду, что при неизменной видимой мощности истинная мощность пласта уменьшается пропорционально величине sina. Соответственно уменьшается магнитный момент как всего пласта, так и вырезанного пласта мощностью dr. Поэтому в общем случае в результат интегрирования войдет множитель sin a.
Интегрируя выражение (43,1) почленно, получаем

Подставляя пределы, получим

Таким же путем получим выражение H

При намагничивании пласта по падению, когда v = 0, формула принимает простой вид:

Ha чертеже видно, что arctg x+b/h = θ1, arctg x-b/h = θ2, a разность их равна углу видимости верхней кромки пласта. При бесконечных пределах интегрирования или в случае, когда точка наблюдения лежит в плоскости, совпадающей с верхней поверхностью пласта, напряженность поля Z равна

Если наблюдаемая кривая Z похожа на кривую над пластом большого распространения в глубину, намагниченным по падению (v = 0), то по аналитическому выражению (43,4) можно найти простой способ вычисления h и b. Составим уравнения Z = 0,5 Zmax и Z = 0,25 Zmax. Обозначая абсциссы соответствующих точек x1 и x2, получим

Применяя известные формулы преобразования

Если v ≠ 0 то непосредственно из выражения (43,2) не удается найти способа вычисления входящих в него параметров. Применяется следующий прием. При изменении знака абсциссы х в выражении (43,3) изменяется знак второго члена. На основании этого можно написать

Полусуммы и полуразности ординат определяются в точках, равноотстоящих от начала координат. Для нахождения последнего применяется способ, описанный выше для пласта малой мощности, а именно по равенству Z (0) = Zmax + Zmin. Это равенство справедливо и для рассматриваемой формы тела, но из-за громоздкости вычислений здесь не доказывается.
К симметричной части кривой применяются формулы (43,5) для вычисления h и b. Для вычисления ft нужно взять отношение равенств (43,6) в любой точке. Для точки, где кривые (43,6) пересекаются, получим

Значение J вычисляем по значению Z первоначальной кривой, например в точке х = 0, путем подстановки найденных значений b, h и ft.
Легко написать выражения Z и H над пластом ограниченного распространения в глубину. Очевидно, что они будут представлять собой разности выражений Z (или Н) над двумя пластами бесконечно большого распространения на глубину; один из этих пластов имеет верхнюю кромку, совпадающую с заданной, а другой — совпадающую с нижней кромкой заданного пласта.
Если вертикальная мощность пласта очень мала сравнительно с глубиной залегания и горизонтальной мощностью 26, то получим горизонтально залегающий пласт. Чтобы написать аналитическое выражение напряженности поля по линии, идущей перпендикулярно к простиранию, достаточно взять производную от (43,3) по h с обратным знаком и помножить на Δh. Появляющееся в этом случае произведение J2bΔh равно магнитному моменту сечения пласта. Выражение Z будет

Если положить v = 0, то легко доказать, что при b > h√3 кривая Z имеет два максимума и три минимума, как это показано на рис. 69. При обратном соотношении между b и h кривая Z имеет один пологий максимум и два минимума.

При вертикальной намагниченности (или близкой к ней) в данном случае поле Z может быть выражено через разность углов видимости верхней и нижней поверхностей пласта (в разрезе по оси х)

Аналитические выражения напряженности поля над пластом ограниченного распространения в глубину при v ≠ 0 настолько сложны, что не удалось найти формулы для вычисления большого количества неизвестных. В этих случаях применяются другие приемы, рассматриваемые в общем виде дальше.
Для выражения (43,7) при v = 0 найдены формулы для вычисления h и b, но вследствие их громоздкости лучше использовать другие возможности, также рассматриваемые дальше.
В практике вычислений глубины залегания верхней кромки тел, которые приближенно можно представить в форме пластов большого распространения на глубину, часто пользуются формулой, названной «интегральной»

Существенной особенностью этой формулы является не присутствие в ней интеграла, а использование напряженности поля в удаленных точках, когда х ≫ h и х ≫ b. По формуле (43,4) напряженность поля Z в таких точках приближенно можно записать в виде

т. е. произведение Zx2 по мере увеличения х стремится к пределу, величина которого находится экспериментально по заданной кривой. Входящее в это выражение произведение 2J2b можно найти из выражения

на основе чего получим формулу (43,8). Она справедлива при условиях: а) когда глубина нижней границы пласта во много раз больше глубины верхней кромки и мощности тела; б) при намагниченности тела по падению. Так как одновременное выполнение этих условий встречается редко, то для применения описанного способа строится осредненная кривая по правой и левой ветвям кривой (относительно максимума); если осредненная кривая переходит в область отрицательных значений на небольшом удалении от выбранного центра симметрии, то нулевая линия опускается. Достаточно убедительных оснований для таких операций нет.