Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Определение
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
sh x = e x − e − x 2 {displaystyle operatorname {sh} x={frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(в англоязычной литературе обозначается sinh x {displaystyle sinh x} )
ch x = e x + e − x 2 {displaystyle operatorname {ch} x={frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(в англоязычной литературе обозначается cosh x {displaystyle cosh x} )
th x = sh x ch x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {displaystyle operatorname {th} x={frac {operatorname {sh} x}{operatorname {ch} x}}={frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
(в англоязычной литературе обозначается tanh x {displaystyle anh x} )
- гиперболический котангенс:
cth x = 1 th x = ch x sh x = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 {displaystyle operatorname {cth} x={frac {1}{operatorname {th} x}}={frac {operatorname {ch} x}{operatorname {sh} x}}={frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
(в англоязычной литературе обозначается coth x {displaystyle coth x} )
sch x = 1 ch x = 2 e x + e − x {displaystyle operatorname {sch} x={frac {1}{operatorname {ch} x}}={frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
Гиперболический секанс иногда также обозначается как sech x {displaystyle operatorname {sech} x} .
- гиперболический косеканс:
csch x = 1 sh x = 2 e x − e − x {displaystyle operatorname {csch} x={frac {1}{operatorname {sh} x}}={frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
Геометрическое определение
Ввиду соотношения ch 2 t − sh 2 t = 1 {displaystyle operatorname {ch} ^{2}t-operatorname {sh} ^{2}t=1} гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x 2 − y 2 = 1 {displaystyle x^{2}-y^{2}=1} ( x = ch t {displaystyle x=operatorname {ch} t} , y = sh t {displaystyle y=operatorname {sh} t} ). При этом аргумент t = 2 S {displaystyle t=2S} , где S {displaystyle S} — площадь криволинейного треугольника O Q R {displaystyle OQR} , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси O X {displaystyle OX} , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: x = t , y = f ( t ) {displaystyle x=t,y=f(t)} , где f ( t ) {displaystyle f(t)} — ордината точки гиперболы, соответствующей площади t = 2 S {displaystyle t=2S} . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.
Свойства
Связь с тригонометрическими функциями
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.
sh x = − i sin ( i x ) , ch x = cos ( i x ) , th x = − i tg ( i x ) {displaystyle operatorname {sh} x=-isin(ix),quad operatorname {ch} x=cos(ix),quad operatorname {th} x=-ioperatorname {tg} (ix)} .
sh ( i x ) = i sin x , ch ( i x ) = cos x , th ( i x ) = i tg x {displaystyle operatorname {sh} (ix)=isin x,quad operatorname {ch} (ix)=cos x,quad operatorname {th} (ix)=ioperatorname {tg} x} .
Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.
Важные соотношения
ch 2 x − sh 2 x = 1. {displaystyle operatorname {ch} ^{2}x-operatorname {sh} ^{2}x=1.} Доказательство
ch 2 x − sh 2 x = ( e x + e − x 2 ) 2 − ( e x − e − x 2 ) 2 = ( e x + e − x ) 2 − ( e x − e − x ) 2 4 = e 2 x + 2 + e − 2 x − e 2 x + 2 − e − 2 x 4 = 2 + 2 4 = 1 {displaystyle operatorname {ch} ^{2}x-operatorname {sh} ^{2}x=left({frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}
ight)^{2}-left({frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}
ight)^{2}={frac {(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={frac {e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={frac {2+2}{4}}=1}
Чётность/нечётность: sh ( − x ) = − sh x . {displaystyle operatorname {sh} (-x)=-operatorname {sh} x.} ch ( − x ) = ch x . {displaystyle operatorname {ch} (-x)=operatorname {ch} x.} th ( − x ) = − th x . {displaystyle operatorname {th} (-x)=-operatorname {th} x.} cth ( − x ) = − cth x . {displaystyle operatorname {cth} (-x)=-operatorname {cth} x.} sch ( − x ) = sch x . {displaystyle operatorname {sch} (-x)=operatorname {sch} x.} csch ( − x ) = − csch x . {displaystyle operatorname {csch} (-x)=-operatorname {csch} x.} Формулы сложения: sh ( x ± y ) = sh x ch y ± sh y ch x . {displaystyle operatorname {sh} (xpm y)=operatorname {sh} x,operatorname {ch} ypm operatorname {sh} y,operatorname {ch} x.} ch ( x ± y ) = ch x ch y ± sh y sh x . {displaystyle operatorname {ch} (xpm y)=operatorname {ch} x,operatorname {ch} ypm operatorname {sh} y,operatorname {sh} x.} th ( x ± y ) = th x ± th y 1 ± th x th y . {displaystyle operatorname {th} (xpm y)={frac {operatorname {th} xpm operatorname {th} y}{1pm operatorname {th} x,operatorname {th} y}}.} cth ( x ± y ) = 1 ± cth x cth y cth x ± cth y . {displaystyle operatorname {cth} (xpm y)={frac {1pm operatorname {cth} x,operatorname {cth} y}{operatorname {cth} xpm operatorname {cth} y}}.} Формулы двойного угла: sh 2 x = 2 ch x sh x = 2 th x 1 − th 2 x . {displaystyle operatorname {sh} 2x=2operatorname {ch} x,operatorname {sh} x={frac {2,operatorname {th} x}{1-operatorname {th} ^{2}x}}.} ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x − 1 = 1 + 2 sh 2 x = 1 + th 2 x 1 − th 2 x . {displaystyle operatorname {ch} 2x=operatorname {ch} ^{2}x+operatorname {sh} ^{2}x=2operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2operatorname {sh} ^{2}x={frac {1+operatorname {th} ^{2}x}{1-operatorname {th} ^{2}x}}.} th 2 x = 2 th x 1 + th 2 x . {displaystyle operatorname {th} 2x={frac {2operatorname {th} x}{1+operatorname {th} ^{2}x}}.} cth 2 x = 1 2 ( th x + cth x ) . {displaystyle operatorname {cth} 2x={frac {1}{2}}(operatorname {th} x+operatorname {cth} x).} th x = ch 2 x − 1 sh 2 x = sh 2 x 1 + ch 2 x . {displaystyle operatorname {th} x={frac {operatorname {ch} 2x-1}{operatorname {sh} 2x}}={frac {operatorname {sh} 2x}{1+operatorname {ch} 2x}}.} ch 2 x ± sh 2 x = ( sh x ± ch x ) 2 . {displaystyle operatorname {ch} 2xpm operatorname {sh} 2x=(operatorname {sh} xpm operatorname {ch} x)^{2}.} Формулы кратных углов: sh 3 x = 4 sh 3 x + 3 sh x . {displaystyle operatorname {sh} 3x=4operatorname {sh} ^{3}x+3operatorname {sh} x.} ch 3 x = 4 ch 3 x − 3 ch x . {displaystyle operatorname {ch} 3x=4operatorname {ch} ^{3}x-3operatorname {ch} x.} th 3 x = th x 3 + th 2 x 1 + 3 th 2 x . {displaystyle operatorname {th} 3x=operatorname {th} x{frac {3+operatorname {th} ^{2}x}{1+3operatorname {th} ^{2}x}}.} sh 5 x = 16 sh 5 x + 20 sh 3 x + 5 sh x . {displaystyle operatorname {sh} 5x=16operatorname {sh} ^{5}x+20operatorname {sh} ^{3}x+5operatorname {sh} x.} ch 5 x = 16 ch 5 x − 20 ch 3 x + 5 ch x . {displaystyle operatorname {ch} 5x=16operatorname {ch} ^{5}x-20operatorname {ch} ^{3}x+5operatorname {ch} x.} th 5 x = th x th 4 x + 10 th 2 x + 5 5 th 4 x + 10 th 2 x + 1 . {displaystyle operatorname {th} 5x=operatorname {th} x{frac {operatorname {th} ^{4}x+10operatorname {th} ^{2}x+5}{5operatorname {th} ^{4}x+10operatorname {th} ^{2}x+1}}.} Произведения: sh x sh y = ch ( x + y ) − ch ( x − y ) 2 . {displaystyle operatorname {sh} x,operatorname {sh} y={frac {operatorname {ch} (x+y)-operatorname {ch} (x-y)}{2}}.} sh x ch y = sh ( x + y ) + sh ( x − y ) 2 . {displaystyle operatorname {sh} x,operatorname {ch} y={frac {operatorname {sh} (x+y)+operatorname {sh} (x-y)}{2}}.} ch x ch y = ch ( x + y ) + ch ( x − y ) 2 . {displaystyle operatorname {ch} x,operatorname {ch} y={frac {operatorname {ch} (x+y)+operatorname {ch} (x-y)}{2}}.} th x th y = ch ( x + y ) − ch ( x − y ) ch ( x + y ) + ch ( x − y ) . {displaystyle operatorname {th} x,operatorname {th} y={frac {operatorname {ch} (x+y)-operatorname {ch} (x-y)}{operatorname {ch} (x+y)+operatorname {ch} (x-y)}}.} Суммы: sh x ± sh y = 2 sh x ± y 2 ch x ∓ y 2 . {displaystyle operatorname {sh} xpm operatorname {sh} y=2operatorname {sh} {frac {xpm y}{2}}operatorname {ch} {frac {xmp y}{2}}.} ch x + ch y = 2 ch x + y 2 ch x − y 2 . {displaystyle operatorname {ch} x+operatorname {ch} y=2operatorname {ch} {frac {x+y}{2}}operatorname {ch} {frac {x-y}{2}}.} ch x − ch y = 2 sh x + y 2 sh x − y 2 . {displaystyle operatorname {ch} x-operatorname {ch} y=2operatorname {sh} {frac {x+y}{2}}operatorname {sh} {frac {x-y}{2}}.} th x ± th y = sh ( x ± y ) ch x ch y . {displaystyle operatorname {th} xpm operatorname {th} y={frac {operatorname {sh} (xpm y)}{operatorname {ch} x,operatorname {ch} y}}.} Формулы понижения степени: ch 2 x 2 = ch x + 1 2 . {displaystyle operatorname {ch} ^{2}{frac {x}{2}}={frac {operatorname {ch} x+1}{2}}.} sh 2 x 2 = ch x − 1 2 . {displaystyle operatorname {sh} ^{2}{frac {x}{2}}={frac {operatorname {ch} x-1}{2}}.} Производные: Интегралы: См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций ∫ sh x d x = ch x + C . {displaystyle int operatorname {sh} x,dx=operatorname {ch} x+C.} ∫ ch x d x = sh x + C . {displaystyle int operatorname {ch} x,dx=operatorname {sh} x+C.} ∫ th x d x = ln ch x + C . {displaystyle int operatorname {th} x,dx=ln operatorname {ch} x+C.} ∫ 1 ch 2 x d x = th x + C . {displaystyle int {frac {1}{operatorname {ch} ^{2}x}},dx=operatorname {th} x+C.} ∫ 1 sh 2 x d x = − cth x + C . {displaystyle int {frac {1}{operatorname {sh} ^{2}x}},dx=-operatorname {cth} x+C.} sh x = ∫ 0 x ch t d t . {displaystyle operatorname {sh} x=int limits _{0}^{x}operatorname {ch} tdt.} ch x = 1 + ∫ 0 x sh t d t . {displaystyle operatorname {ch} x=1+int limits _{0}^{x}operatorname {sh} tdt.} th x = ∫ 0 x d t ch 2 t . {displaystyle operatorname {th} x=int limits _{0}^{x}{frac {dt}{operatorname {ch} ^{2}t}}.} Представление через гиперболический тангенс половинного угла: sh x = 2 th x 2 1 − th 2 x 2 {displaystyle operatorname {sh} x={frac {2operatorname {th} {frac {x}{2}}}{1-operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}}} ch x = 1 + th 2 x 2 1 − th 2 x 2 {displaystyle operatorname {ch} x={frac {1+operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}{1-operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}}} th x = 2 th x 2 1 + th 2 x 2 {displaystyle operatorname {th} x={frac {2operatorname {th} {frac {x}{2}}}{1+operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}}} cth x = 1 + th 2 x 2 2 th x 2 {displaystyle operatorname {cth} x={frac {1+operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {th} {frac {x}{2}}}}} sch x = 1 − th 2 x 2 1 + th 2 x 2 {displaystyle operatorname {sch} x={frac {1-operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}{1+operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}}} csch x = 1 − th 2 x 2 2 th x 2 {displaystyle operatorname {csch} x={frac {1-operatorname {th} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {th} {frac {x}{2}}}}} Неравенства
Для всех x ∈ R {displaystyle xin mathbb {R} } выполняется:
0 ≤ ch x − 1 ≤ | sh x | < ch x {displaystyle 0leq operatorname {ch} x-1leq |operatorname {sh} x|<operatorname {ch} x} | th x | < 1 {displaystyle |operatorname {th} x|<1} Разложение в степенные ряды
sh x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {displaystyle operatorname {sh} ,x=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+{frac {x^{7}}{7!}}+ldots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} ch x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {displaystyle operatorname {ch} ,x=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{6}}{6!}}+ldots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}} th x = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + … = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {displaystyle operatorname {th} ,x=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+ldots =sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},quad |x|<{frac {pi }{2}}} cth x = 1 x + x 3 − x 3 45 + 2 x 5 945 + … = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {displaystyle operatorname {cth} ,x={frac {1}{x}}+{frac {x}{3}}-{frac {x^{3}}{45}}+{frac {2x^{5}}{945}}+ldots ={frac {1}{x}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},quad 0<|x|<pi } (Ряд Лорана) sch x = 1 ch x = ∑ n = 0 ∞ E 2 n x 2 n ( 2 n ) ! {displaystyle operatorname {sch} ,x={frac {1}{operatorname {ch} ,x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {E_{2n},x^{2n}}{(2n)!}}}
Здесь B 2 n {displaystyle B_{2n}} — числа Бернулли, E 2 n {displaystyle E_{2n}} — числа Эйлера.
Графики
sh(x), ch(x), th(x), cth(x)
Аналитические свойства
Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = i π ( n + 1 / 2 ) {displaystyle z=ipi (n+1/2)} , где n {displaystyle n} — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = i π n {displaystyle z=ipi n} , вычеты его в этих полюсах также равны единице.
Обратные гиперболические функции
Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.
- arsh x = ln ( x + x 2 + 1 ) {displaystyle operatorname {arsh} x=ln(x+{sqrt {x^{2}+1}})} — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
- arch x = ln ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 {displaystyle operatorname {arch} x=ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}
ight);xgeq 1} — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
- arth x = ln 1 − x 2 1 − x = 1 2 ln 1 + x 1 − x ; | x | < 1 {displaystyle operatorname {arth} x=ln {frac {sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={frac {1}{2}}ln {frac {1+x}{1-x}};|x|<1} — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
- arcth x = ln x 2 − 1 x − 1 = 1 2 ln x + 1 x − 1 ; | x | > 1 {displaystyle operatorname {arcth} x=ln {frac {sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={frac {1}{2}}ln {frac {x+1}{x-1}};|x|>1} — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
- arsch x = ln 1 + 1 − x 2 x ; 0 < x ≤ 1 {displaystyle operatorname {arsch} x=ln {frac {1+{sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<xleq 1} — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение y = − ln 1 + 1 − x 2 x {displaystyle y=-ln {frac {1+{sqrt {1-x^{2}}}}{x}}} также удовлетворяет уравнению sch y = x {displaystyle operatorname {sch} y=x} , однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
- arcsch x = ln 1 + sgn x 1 + x 2 x = { ln 1 − 1 + x 2 x , x < 0 ln 1 + 1 + x 2 x , x > 0 {displaystyle operatorname {arcsch} x=ln {frac {1+operatorname {sgn} x{sqrt {1+x^{2}}}}{x}}=left{{egin{array}{l}ln {frac {1-{sqrt {1+x^{2}}}}{x}},quad x<0ln {frac {1+{sqrt {1+x^{2}}}}{x}},quad x>0end{array}}
ight.} — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.
Графики
arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)
Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:
Arsh x = − i Arcsin ( − i x ) , {displaystyle operatorname {Arsh} x=-ioperatorname {Arcsin} (-ix),} Arsh ( i x ) = i Arcsin x , {displaystyle operatorname {Arsh} (ix)=ioperatorname {Arcsin} x,} Arcsin x = − i Arsh ( i x ) , {displaystyle operatorname {Arcsin} x=-ioperatorname {Arsh} (ix),} Arcsin ( i x ) = − i Arsh ( − x ) , {displaystyle operatorname {Arcsin} (ix)=-ioperatorname {Arsh} (-x),} Arccos x = − i Arch x , {displaystyle operatorname {Arccos} x=-i operatorname {Arch} x,}
где i — мнимая единица.
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:
arsh x = x − ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1 ; {displaystyle operatorname {arsh} x=x-left({frac {1}{2}}
ight){frac {x^{3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}
ight){frac {x^{5}}{5}}-left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}
ight){frac {x^{7}}{7}}+ldots =sum _{n=0}^{infty }left({frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}
ight){frac {x^{2n+1}}{2n+1}},quad leftvert x
ightvert <1;} arch x = ln ( 2 x ) − ( ( 1 2 ) x − 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 6 6 + … ) = ln ( 2 x ) − ∑ n = 1 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − 2 n 2 n , x > 1 ; {displaystyle operatorname {arch} x=ln(2x)-left(left({frac {1}{2}}
ight){frac {x^{-2}}{2}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}
ight){frac {x^{-4}}{4}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}
ight){frac {x^{-6}}{6}}+ldots
ight)=ln(2x)-sum _{n=1}^{infty }left({frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}
ight){frac {x^{-2n}}{2n}},quad x>1;} arth x = x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1. {displaystyle operatorname {arth} x=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}+{frac {x^{7}}{7}}+ldots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{2n+1}},quad |x|<1.}
В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, Arth x {displaystyle operatorname {Arth} ,x} пишут как tanh − 1 x {displaystyle operatorname {tanh} ^{-1}x} (причём ( tanh x ) − 1 {displaystyle (operatorname {tanh} ,x)^{-1}} обозначает другую функцию — cth x {displaystyle operatorname {cth} ,x} ), и т. д.
История
Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: sh {displaystyle operatorname {sh} } , ch {displaystyle operatorname {ch} } . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).
Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.
В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp {displaystyle operatorname {sinhyp} } , coshyp {displaystyle operatorname {coshyp} } , в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh , ch {displaystyle operatorname {sh} ,operatorname {ch} } , в англоязычной закрепились sinh , cosh {displaystyle sinh ,cosh } .
Применение
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.
Аналогично тому, как матрицы вида ( cos x sin x − sin x cos x ) {displaystyle {egin{pmatrix}cos x&sin x-sin x&cos xend{pmatrix}}} описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы ( c h x s h x s h x c h x ) {displaystyle {egin{pmatrix}mathop {mathrm {ch} } ,x&mathop {mathrm {sh} } ,xmathop {mathrm {sh} } ,x&mathop {mathrm {ch} } ,xend{pmatrix}}} описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.
Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции y = a c h x a {displaystyle y=a,mathop {mathrm {ch} } ,{frac {x}{a}}} (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.