Постоянная Каталана

Постоянная Каталана — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

G = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 = 1 1 2 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + … {displaystyle G=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={frac {1}{1^{2}}}-{frac {1}{3^{2}}}+{frac {1}{5^{2}}}-{frac {1}{7^{2}}}+dots }

Её численное значение приблизительно равно:

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (последовательность A006752 в OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugène Charles Catalan).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

G = β ( 2 ) . {displaystyle G=eta (2).}

Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма

G = Cl 2 ⁡ ( π / 2 ) = Im ⁡ ( Li 2 ⁡ ( e i π / 2 ) ) = Im ⁡ ( Li 2 ⁡ ( i ) ) . {displaystyle G=operatorname {Cl} _{2}(pi /2)=operatorname {Im} left(operatorname {Li} _{2}(e^{ipi /2}) ight)=operatorname {Im} {ig (}operatorname {Li} _{2}(i){ig )}.}

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G , {displaystyle psi _{1}left({ frac {1}{4}} ight)=pi ^{2}+8G,} ψ 1 ( 3 4 ) = π 2 − 8 G , {displaystyle psi _{1}left({ frac {3}{4}} ight)=pi ^{2}-8G,}

так что

G = 1 16 [ ψ 1 ( 1 4 ) − ψ 1 ( 3 4 ) ] . {displaystyle G={ frac {1}{16}}left[psi _{1}left({ frac {1}{4}} ight)-psi _{1}left({ frac {3}{4}} ight) ight].}

Симон Плуфф нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией ψ 1 {displaystyle psi _{1}} , π 2 {displaystyle pi ^{2}} и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

G = 4 π ln ⁡ ( G ( 3 8 ) G ( 7 8 ) G ( 1 8 ) G ( 5 8 ) ) + 4 π ln ⁡ ( Γ ( 3 8 ) Γ ( 1 8 ) ) + π 2 ln ⁡ ( 1 + 2 2 ( 2 − 2 ) ) . {displaystyle G=4pi ln left({frac {G({ frac {3}{8}})G({ frac {7}{8}})}{G({ frac {1}{8}})G({ frac {5}{8}})}} ight)+4pi ln left({frac {Gamma ({ frac {3}{8}})}{Gamma ({ frac {1}{8}})}} ight)+{frac {pi }{2}}ln left({frac {1+{sqrt {2}}}{2(2-{sqrt {2}})}} ight).}

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

G = − ∫ 0 1 ln ⁡ t 1 + t 2 d t , {displaystyle G=-int _{0}^{1}{frac {ln t}{1+t^{2}}},dt,} G = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 + x 2 y 2 d x d y , {displaystyle G=int _{0}^{1}int _{0}^{1}{frac {1}{1+x^{2}y^{2}}},dx,dy,} G = 1 2 ∫ 0 π / 2 t sin ⁡ t d t , {displaystyle G={ frac {1}{2}}int _{0}^{pi /2}{frac {t}{sin t}},dt,} G = ∫ 0 1 arctan ⁡ x x d x , {displaystyle G=int _{0}^{1}{frac {arctan x}{x}},dx,} G = 1 2 ∫ 0 ∞ x cosh ⁡ x d x . {displaystyle G={frac {1}{2}}int _{0}^{infty }{frac {x}{cosh x}},dx.}

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):

G = 1 2 ∫ 0 1 K ( x ) d x . {displaystyle G={frac {1}{2}}int _{0}^{1}mathrm {K} (x),dx.}

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

G = π 8 ln ⁡ ( 3 + 2 ) + 3 8 ∑ n = 0 ∞ ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! ( 2 n + 1 ) 2 {displaystyle G={frac {pi }{8}}ln({sqrt {3}}+2)+{ frac {3}{8}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}}

и

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой.

Цепные дроби

Цепная дробь константы Каталана (последовательность A014538 в OEIS) выглядит следующим образом:

G = [ 0 ; 1 , 10 , 1 , 8 , 1 , 88 , 4 , 1 , 1 , 7 , 22 , 1 , 2 , 3 , 26 , 1 , 11 , 1 , 10 , 1 , 9 , 3 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … ] = {displaystyle G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,dots ]=} = 0 + 1 1 + 1 10 + 1 1 + 1 8 + … {displaystyle =0+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{10+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{8+ldots }}}}}}}};}

Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:

2 G = 2 − 1 3 + 2 2 1 + 2 2 3 + 4 2 1 + 4 2 3 + 6 2 1 + 6 2 3 + … ⋯ + 4 n 2 1 + 4 n 2 3 + … {displaystyle 2G=2-{cfrac {1}{3+{cfrac {2^{2}}{1+{cfrac {2^{2}}{3+{cfrac {4^{2}}{1+{cfrac {4^{2}}{3+{cfrac {6^{2}}{1+{cfrac {6^{2}}{3+{cfrac {dots }{dots +{cfrac {4n^{2}}{1+{cfrac {4n^{2}}{3+dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 2 G = 1 + 1 1 2 + 1 2 1 2 + 1 ⋅ 2 1 2 + 2 2 1 2 + 2 ⋅ 3 1 2 + 3 2 1 2 + … ⋯ + n 2 1 2 + n ⋅ ( n + 1 ) 1 2 + … {displaystyle 2G=1+{cfrac {1}{{cfrac {1}{2}}+{cfrac {1^{2}}{{cfrac {1}{2}}+{cfrac {1cdot 2}{{cfrac {1}{2}}+{cfrac {2^{2}}{{cfrac {1}{2}}+{cfrac {2cdot 3}{{cfrac {1}{2}}+{cfrac {3^{2}}{{cfrac {1}{2}}+{cfrac {dots }{dots +{cfrac {n^{2}}{{cfrac {1}{2}}+{cfrac {ncdot (n+1)}{{cfrac {1}{2}}+dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.