Теорема Вариньона (геометрия)

10.01.2022

Теорема Вариньона — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма:

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Следствия

  • Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
  • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
  • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.
  • Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
  • Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
  • Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны.
  • Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны.

Доказательство

Проведём диагональ A C {displaystyle AC} . Отрезки I J {displaystyle IJ} и L K {displaystyle LK} будут средними линиями треугольников △ A B C {displaystyle riangle ABC} и △ A D C {displaystyle riangle ADC} . По теореме о средней линии, отрезки будут параллельны диагонали, а, значит, и друг другу. Повторив аналогичные рассуждения для диагонали B D {displaystyle BD} , получаем, что противоположные стороны четырёхугольника ◻ I J K L {displaystyle square IJKL} параллельны, и, по определению, это — параллелограмм.

Доказательство, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника

Пусть диагональ A C {displaystyle AC} проходит внутри четырёхугольника. Тогда площадь треугольника A B C {displaystyle ABC} равна A C ⋅ h b 2 {displaystyle {frac {ACcdot h_{b}}{2}}} , где h b {displaystyle h_{b}} --- высота треугольника A B C {displaystyle ABC} , проведённая из вершины B {displaystyle B} . Аналогично, площадь треугольника A D C {displaystyle ADC} равна A C ⋅ h d 2 {displaystyle {frac {ACcdot h_{d}}{2}}} . Тогда площадь всего четырёхугольника равна A C ( h b + h d ) 2 {displaystyle {frac {AC(h_{b}+h_{d})}{2}}} . Но ( h b + h d ) 2 = h b 2 + h d 2 {displaystyle {frac {(h_{b}+h_{d})}{2}}={frac {h_{b}}{2}}+{frac {h_{d}}{2}}} — это сумма расстояний до прямой A C {displaystyle AC} от точек E {displaystyle E} и H {displaystyle H} , то есть в точности высота параллелограмма E H G F {displaystyle EHGF} . А поскольку сторона G H {displaystyle GH} параллелограмма вдвое меньше A C {displaystyle AC} , то и площадь параллелограмма равна половине площади A B C D {displaystyle ABCD} , Q. E. D.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2022
При цитировании информации ссылка на сайт обязательна.
Копирование материалов сайта ЗАПРЕЩЕНО!